第一冊  主題一  數與數線

1-1:負數與數線

PART 1:主題探索窗

探索一:認識負數

正數、負數的觀念:日常生活中,為了分辨相反或相對的量,常用「+」(讀作正)號和「-」(讀作負)號來描述;例如溫度、方向、盈虧(賺錢或賠錢)

正數:指大於0的數,如+2、+8、+0.5、+1.7、+9.3、+1、+、+…等,通常我們會省略「+」號,直接以280.5…表示。

負數:小於0的數,如-3、-5、-9、-0.3、-2.8、-3.4、-2、-、-…等,此時「-」號不可以省略。

數:數可分為正數、0、負數三種。

整數:包括正整數、負整數和0。正整數又稱為自然數。

 

範例1

判斷下列哪些數是正數?哪些數是負數?

(1) 38  (2)9   (3)0  (4)3.7  (5)1

解: 正數:93.7
負數:-38、-1
0
:非正數也非負數

答:正數:(2)9 (4)3.7 
負數:(1) 38   (5)1

練習1

判斷下列哪些數是正數?哪些數是負數?

(1)   (2)0    (3)11   (4)9.1   (5)0.00001

解:

範例2

生物課老師進行搶答比賽,若每答對一題得3分,用+3分表示,則每答錯一題扣1.5分,應如何表示?

解:-1.5

練習2

若以水庫的警戒水位線為基準,水位線以上的數以「+」號表示,水位線以下的數以「-」號表示。已知水位線以上5公分用「+5公分」表示,則水位線以下3.7公分,該如何表示?

解:

 

範例3

香涮火鍋店老闆記帳,以「+」表示賺錢,以「-」表示賠錢,若十二月為旺季,賺進118500元,以+118500元表示,則七月為淡季,賠了49600元,應如何表示?

解:-49600

練習3

以身高160公分為基準,若中君172公分記為+12,則俊豪148公分應如何表示?

解:ˉ

範例4

若以學校為基準點,今俊林向南走5步,以-15表示,如果向北走7步,應如何表示?

解: 向南走5步,以-15表示(每步為3單位),則向北走7步,共走21單位,應用+21表示。

答:+21

練習4

  若以中午12時為基準,下午730分以+7.5時表示,則上午1030分,應如何表示?

解:

探索二:

性質符號:上述+8、+1.7、+1、-3、-3.4、-等這些數前面的「+」、「-」號,是用來區分該數是正數或負數的符號,我們就稱這些「+」、「-」號是性質符號,其中「+」讀作正,「-」讀作負。

同號數:性質符號相同的兩數稱為同號數。如-3與-3.412

異號數:性質符號不同的兩數稱為異號數。如+1、-3

運算符號:若「+」、「-」號,是用來表示加減運算時,我們就稱這些「+」、「-」號是運算符號,其中「+」讀作加,「-」讀作減。例如(+3)-(-5)的式子讀作正3減負5

負數:小數-大數,如35;(-2)-7

 

範例5

判斷下列各式的值為正數或負數:

(1)25   (2)3.94.1  (3)11599  (4)1

解:(1)負數   (2)負數  (3)正數  (4)負數

練習5

判斷下列各式的值有幾個為負數:

(1)99   (2)13  (3)0.00010.001  (4)

解:

範例6

讀出下列的算式:(7)(6)+(-1

解:正七減負六加負1

練習6

讀出下列的算式:(11)(9)-(+3)-(-4),並算出該式中有幾個性質符號?幾個運算符號?

解:

範例7

淑音在春假期間到合歡山旅遊,若某日合歡山氣溫由9下降11,則下降後的溫度為幾℃?

解:911=-2()

答:-2

練習7

邁阿密的國際標準時間為-6時,洛杉機國際標準時間為-8時,則兩地的時差為多少小時?

解:

探索三:數線

數線基本要素:包含原點、方向(正向)及單位長。

數線的畫法:1.首先在一條水平直線上任取一個基準點,通常我們用「0」這個數表示基準點,並稱此點為原點,以英文字母O表示,記作O

2.其次用箭頭表示方向為正,與箭頭相反的方向為負向。

3.最後選一個適當長度作為單位長,從O點向「右」邊每隔一個單位作為一個刻度,依次代表正整數123。從原點向「左」邊每隔一個單位作為一個刻度,依次代表負整數-1、-2、-3

點的坐標:數線上,若正向朝右,今P點在原點右邊10個單位,則我們可說P點表示的數為10,或說P的坐標為10,記作P(10)。若Q點在原點左邊7個單位,則Q點表示的數為-7,或說Q的坐標為-7,記作Q(7)

數線的概念:1.任何數,不論是正數、負數或0,均可在數線上找到一個點表示。

2.在數線上,若正向朝右,則正數都在原點的右邊,負數都在原點的左邊,而0在原點上。

3.同一個數,在數線上所標示的點位置相同。

4.欲在數線上描繪出小數,可先將小數化為分數較易描出。

 

範例8

有一隻螞蟻,將三塊餅乾分別放在數線上相異的ABC三個點上,請問:

 

18

 

(1)ABC三點所代表的數為何?

(2)B點與原點相距幾個單位長?

 解:(1)A點表示2B點表示-1C點表示
(2)B
點與原點相距1個單位長

練習8

(1)請畫出一條直線,並在直線上標出原點、正向(以箭頭表示)與單位長,以及A(1 )B()C()D( )的四個點。

(2)ABCD四個點中,離原點最遠的是哪一個?

解:

範例9

 

如圖,方婷想以單位長為3公分的數線測量一枝鉛筆的長度,已知鉛筆的尾端與原點切齊,且筆尖與數線上的K點切齊,若方婷測得鉛筆長度為24公分,則K點的坐標為何?  

解:24÷38 ;距原點8個單位,且在原點左方,
K點代表-8

答:-8

練習9

以下是國道三號部分路段的里程數:

路段

基金

交流道

七堵

收費站

南港

交流道

安坑

交流道

彰化系統交流道

里程數

0

5

15

31

198

若以南港交流道為原點,往北1公里記為+1,往南1公里記為-1,則:(1) 彰化系統交流道應標記為多少?

(2) 七堵收費站安坑交流道應向南或向北移動幾公里?

解:

PART 2:學習檢測站

ㄧ、選擇題:

  1.下列哪一個數是負數?ˉ

(A) 3.3ˉ (B)7373  (C)0.90.09ˉ
(D)1
10000

閱讀下列敘述,並回答2-3題:

瑾華將本月金曲排行榜整理如下:

※本月金曲排行榜

本月名次

上月名次

歌曲名稱

歌手

1

3

中國話

S.H.E.

2

1

愛的天靈靈

王心凌

3

2

藍眼睛

張韶涵/蘇打綠

4

4

發現愛

金莎/林俊傑

5

15

害我受了傷

王蓉

6

N

自由不變

林俊傑

7

5

幸福的理由

鍾漢良/郭靈霞

8

(  )

假行僧

張信哲

9

(  )

天使在人間

羽泉

10

7

寬恕無罪

胡楊林

*N表示上月未進入排行榜名單之內*

    上月排名第一名的歌曲「愛的天靈靈」本月第二名,退步1名,用「-1」表示;上月第四名的「發現愛」本月仍為第四名,不升也不降,用「0」表示;上月第十五名的歌曲「害我受了傷」本月第五名,晉升10名,用「+10」表示。

 

 2.歌曲「幸福的理由」與上月相比,應如何表示?
(A)
2  (B) 1  (C) 1  (D)2

 3.若歌曲「假行僧」上月名次是第a名,本年度用「+2
表示,歌曲「天使在人間」上月名次是第b名,本年度用「-3」表示,則ab=?
(A) 4
  (B) 6   (C) 10   (D) 11

 4.一流國中的東邊3公里處以+18表示,則-42
表示一流國中的何方幾公處?
(A)
東方42公里 (B)西方42公里  (C)西方7公里  (D)西方6公里

 5.敏惠想在數線上找出與原點相距11個單位的點,請問這樣的點會有幾個? 

 (A)1   (B)2   (C) 11  (D)21個。

 6.一年一班舉行生活常規競賽,若每得一個白圈代表+1分,每得一個黑圈代表-1分。若安靈16個白圈、7個黑圈,安泰27個白圈、19個黑圈,則誰的得分較高?

(A) 安靈ˉ(B) 安泰ˉ(C)一樣高ˉ(D)無法確定。

 7.數線上有四個點:-13.3811.97、-5.7,請問哪一點離原點最近?
(A)
13.38   (B) 11.97  (C) (D)5.7

 8.正瑛有一冰庫溫度為5,記為+5;今將它調低8之後,溫度為多少℃?  
(A)
3   (B)2  (C) 3  (D) 13

 9.淑梅學了正負數單元後,將水位線以上的數用「+」號表示,水位線以下的數用「-」號表示。若有一船從+9行駛到-18,則此船行駛的距離及方向為何?
(A)
上升9ˉ(B)上升27ˉ(C)下降9  (D下降27

 10.承上題,若新水位的0,在原水位標記為-6,且新的單位長為原來的2倍,則原水位的+8,現在應標記為何?
(A)
7ˉ(B)2ˉ(C)2   (D)7

請閱讀下列敘述,並回答11-12題:

子儀將各地與英國倫敦的時差記錄如下:

    各地的國際標準時間

夏威夷

紐約

倫敦

台北

雪梨

10

5

0

8

10

 11.雪梨當地時間為下午3時,則台北的當地時間為幾
時?
(A)
上午一時ˉ(B) 上午五時 (C)下午一時ˉ
(D)
下午五時。

 12.夏威夷當地時間為上午8時,則紐約的當地時間為幾時?
(A)
上午三時 ˉ(B)上午十時  (C)下午一時
(D)
下午三時。

二、填充題:

1.水果店老闆記帳,以「+」號表示賺錢,以「-」號表示賠錢,  若他七月份賺49600元,以+49600表示,則十月份賠7900元,應表示為             

2.若以體重45公斤為基準,今將68公斤記為+23公斤,則體重39公斤應記為           

3.若以中午12時為基準,下午930分以+9.5時表示,則上午930分,應表示為          

4.伶芳以電梯大廈一樓為基準,將十樓記為+9,則地下四樓應記為            

5.健康俱樂部舉辦高爾夫球比賽,標準桿為72桿,若高於標準桿1桿,記為+1;低於標準桿1桿,記為-1;平標準桿,則記為0萱萱將五位選手前18洞成績與標準桿的差數記錄如下,請問怡真的成績是        桿。

選手

虹文

蕾瑜

可情

怡真

佳儀

成績與標準桿差數

4

1

0

5

3

 

6.芳蕙從數線上-13的位置出發,先向左走9單位,再向右走5個單位,則芳蕙最後的位置應在       單位。

7.名玲的班上分四組玩遊戲,每組答對一題給一分,答錯一題扣一分,且每題都必須作答,當各組都答完十一題後,得分如下:

A

B

C

D

3

5

7

1

 

由上面得分結果,可知B組答對      題、答錯     題。

8.紐約的國際標準時間為-5時,雪梨的國際標準時間為+10時,則兩地的時差為       小時

9.譯天想在數線上畫出-9.25這個數,則他至少要將-9、-10整數間分成       等分。

10.榮恩妙麗到圖書館蒐集資料,今以數線表示兩人的位置。若榮恩在數線上代表7的點,且與妙麗相距12個單位,則妙麗所在的位置代表的數為          

 

PART 3:高手競技場

 1.阿榮阿澤阿翰分別站在數線上-937的位置:若以阿澤為新的原點,阿澤阿翰的距離為新的單位長,則阿榮所站的點其新坐標應為何?
(A)
12ˉ(B)6ˉ(C)4  (D)3

 2.曉雲在數線上畫了ABCDE五點,所代表的數分別為-87.5、-12.5、-49,則哪兩個點之間的距離最長?
(A) B
C之間   (B) CE之間     
(C) D
E之間   (D) BE之間 。

 3.若以中午12時為基準,下午930分以+9.5時表示,則上午915分,應表示為何?
(A)
9.15(B)9.25
(C)
2.15(D)2.75時。

 4.純菁將數線上-6、-5個數之間,分成10等分,得9個等分點,則由左算起第4個等分點所表示的數為多少?
(
A)5.4      (B)5.5    
(
C)5.6      (D)5.7

請閱讀下列敘述,並回答5-6題:

佳德糕餅店每日製作鳳梨酥的目標為300盒,但實際生產數量略有增減,若每天生產的數量比目標增加1盒簡記為+1,減少1盒簡記為-1,下表為本週的生產情形:

星期

實際數量(盒)

295

289

B

300

304

E

簡記數字

5

A

4

C

D

2

 

  5.根據上表的資料請求出ABCDE=?
(A) 586    (B) 595  (C) 601   (D)604

  6.承上題,若本週平均每天生產301盒鳳梨酥,則乙=?
(A)
17   (B) 9   (C) 3   (D)5

 

PART 4:資源補給庫

一、數學燈謎

元宵節是一個充滿歡樂與民俗色彩的節日,傳統上在這天我們會吃元宵(湯圓)祈求團圓,同時也會有許多活動,例如「提花燈」與「猜燈謎」。猜燈謎不但具有娛樂性,也具有豐富的教育意義,如果能在數學與文學間做轉換,那可不簡單喔!我們在第一章的四個單元,都會安排與單元主題相關的數學燈謎供大家動動腦,一起來挑戰吧!

A:以下各題,每題均猜一個「四字成語」

1. 1256789                    (             ) 

2. 2≦ x 3                    (             ) 

3. 二四六八                   (             ) 

4. 0000                       (             )   

B:以下各題,每題均猜一個字

1. 11不是二                 (            )  

2. 增白皂                     (            )  

3. 保留一半,放棄一半         (            )

C:以下各題,每題均猜一個數學名詞

1.背著喇叭                    (            )   

2.考試不作弊                  (            ) 

3.再見了,媽媽!              (            )  

二、數學趣聞

許多人從小就愛聽故事,從床邊故事、成語故事、到寓言故事等,故事中常常充滿趣味與智慧,讓人百聽不厭!你知道嗎,其實有些故事也和數學有關呢!在本章的四個單元,我們會穿插一些有趣的數學故事,讓同學動腦思考並學習數學相關概念,但願你能體會學習數學的樂趣,並且變得更聰明喔!

朱淑貞的"斷腸謎"

宋朝有位女詞人朱淑貞,曾寫過一首"斷腸謎",內容如下,以下共有十句,每句皆代表一個字,請大家猜猜看這十句,說的分別是哪十字? 挑戰一下吧!

下樓來,金簪卜落,

問蒼天,人在何方,

恨王孫,一直去了,

詈冤家,言去難留,

悔當初,吾錯失口,

有上交,無下交,

皂白何須問,

分開不用刀,

從今莫把仇人靠,

千里相思一撇清。

 

三、數字精算師

日常生活中,數字與我們息息相關,例如金錢、身高、車牌號碼、身分證字號、座號等等,在本章的四個單元中,我們將安排一些與數字相關的題目或活動,希望能培養同學的數字敏感度,準備好了嗎,我們就要開始了!

以下有三個算式,想想看用什麼方法能很快找出答案呢?

(1) 10987654321=?

(2) 10099989796……….54321=?

(3) 1000999998997996……54321=?

 

參考資料及網站:

小澤健一編(民90)。在遊戲中學數學。台北:國際村文庫。

白鳥敬(民92)。生活中有趣的單位與記號事典。台北:世茂。

李國賢(民93)。趣味數學國中數學遊戲篇。台北:新潮社。

黃嫣梨(民80)。朱淑真及其作品。台北:新文豐出版公司。

蔣聲和陳瑞琛(民91)。趣味算術再闖關。香港:智能教育。

蔣聲和陳瑞琛(民91)。趣味算術考腦筋。香港:智能教育。

http://www.mathland.idv.tw/recreat/puzz.htm

http://www.mathland.idv.tw/

 

 

 

本單元參考解答

PART 1:主題探索窗參考答案:

練習1:正數:(3) 11 (4) 9.1    

負數:(1)   (5) 0.00001

0:非正數也非負數

練習2:-3.7公分

練習3:-12(148160=-12)

練習4:-1.5

練習5(2) (3) (4)的值均為負數,共3

練習6:負十一加負九減正三減負四;共4個性質符號、3個運算符號

練習72小時

練習8:(1ABCD個點的位置如下圖:

E10710

 

2A點;A的位置離原點最遠(1個單位)

練習9:(1)-183

15公里處到198公里處,相距183公里,因往南,故記為-183

 (2) 往南26公里。31526,故往南26公里。

PART 2:學習檢測站參考答案:

一、選擇題

1.D     2.D     3.A     4.C    5.B     6.A   
7.C     8.A     9.D    10.A   11.C    12.C

詳解:

3.a8210b936ab1064

5.:即+11、-11個點

6.安靈1679(分);安泰27198(分),故安靈高。

10.:-6814單位,新的單位長為原來的2倍,故相距7單位且為正向,記為+7

二、填充題:

1.7900   2.6公斤    3. 2.5  

4. 4    5. 67    6. 17    

7.答對3題、答錯8        

8.15     9. 4等分    10.519

詳解

4.1樓到10樓相距9層樓,記為+9,一樓到地下四樓相距4層樓,故記為-4

6.: -1395=-17

7.: 答對3題得+3分、答錯8題得-8分,故總得分為-5分。

8.: -5時與+10時相差15

9.9.25=-2至少要將-9、-10整數間分成4等分

10. 7往右12個單位為19,往左12個單位為-5

PART 3:高手競技場參考答案:

1.D     2.B    3.D     4.C    5.B    6.A

詳解:

1.:從3到-9須向左移12單位,因為新的單位長變為4,故新坐標為-3

2.CE相距21.5單位,距離最長

3.:上午915分與中午12時相距245分=2.75

5.A=-11B304C0D=+4E298
A
BCDE=-1130404298595

6.本週平均每天生產301盒,故簡記為+7

51140乙+427

    10+乙=7,乙=17

PART 4:資源補給庫參考答案:

一、數學燈謎

A1.丟三落四   2. 接二連三  3.無獨有偶  4.掛萬漏一

4題也許有些同學會答四大皆空,當然這樣的答案也非常有創意,但由於是數學燈謎,故本題採「掛萬漏一」的答案。

B1.  2.  3.仿

詳解:

2.:增白皂是一種肥皂,用它洗衣服可使白色更潔白。七加上白之後,就成了皂。

3.「保」留下一半,「放」捨棄一半,兩半拼在一起,就成「仿」。

C1.負號  2.真分數  3.分母

二、朱淑貞的"斷腸謎"

參考答案:一二三四五六七八九十

為什麼會如此呢?觀察下列說明,你就可以知道了喔!

樓來,金簪落,            (解為:一)

問蒼在何方,             (解為:二)

孫,直去了,             (解為:三)

冤家,去難留,             (解為:四)

悔當初,錯失             (解為:五)

上交,無下交               (解為:六)

皂白何須問,                   (解為:七)

開不用                  (解為:八)

從今莫把仇人靠,               (解為:九)

   里相思一撇清。                (解為:十)

三、數字精算師

觀察這三個算式,可發現其共通點有二:

(1)算式中的數都是由大到小,順次減1

(2)算式中的加減符號都交替出現。

因此若透過添加括號後再計算,可得結果如下:

(1)10987654321
10(98)(76)(54)(32)1
10(1111)115

(2)10099989796………54321
100(9998)(9796)………
(54)(32)1

10049×11150

(3)1000999998997996……54321
1000(999998)(997996)……
(54)(32)1
10001×49911500
有了這樣的想法,你是否能很快推算出
10000
(99999998)(99979996)……(54)(32)1的結果呢?

 (
解為15000,你答對了嗎?)

創用CC標示:
CC