第一冊 主題一 數與數線
1-2：數的大小與絕對值
PART 1：主題探索窗
探索一：比較數的大小
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數的大小關係： 1.三一律：比較a、b兩數的大小時，下列三種關係，恰有一種成立：a＞b、a＝b或a＜b。 2.遞移律：設a、b、c為三個數，則下列的關係必成立： (2)若a＞b，b＞c，則a＞c。例如9＞7，7＞－2，則9＞－2。 (3)若a＜b，b＜c，則a＜c。例－6＜－5，－5＜－3，則－6＜－3。 3.若數線上的正向往右，則 (1)數線上右邊的數恆大於左邊的數：數的大小可藉由它們在數線上所表示的位置來比較。 例如：15比9大，數線上點A(15)會在點B(9)的右邊，習慣上「15比9大」記作「15＞9」（讀作15大於9），也可記作「9＜15」（讀作9小於15） (2)數線上愈右邊的數，代表的數愈大；愈左邊的點，代表的數愈小。 (3)正數＞0＞負數：數線上，正數都在原點的右邊且正數均大於0；負數都在原點的左邊且負數均小於0。 |
範例1
比較下列各題中兩數的大小：（請在空格中填入＞、＝或＜）
(1)－101 101 (2) －8 －12
(3) 0 －4
(4) 0 5.8
解：(1)－101 ＜ 101 (2) －8 ＞ －12
(3) 0 ＞ －4
(4) 0 ＜ 5.8
練習1
比較下列各題中兩數的大小：(請在空格中填入＞、＝或＜)
(1) －38 －37 (2) －0.001 －0.00001
(3) (3－8) (8－3) (4) 0 －9.9
解：
範例2
比較下列各數的大小關係，並以”＞、＝、＜”表示：
38、－17、－5
、0、25、－7.8
解：先比較正數的大小關係：38＞25再比較負數的大小關係：－5
＞－7.8＞－17根據遞移律及「正數＞0＞負數」之原則，可得38＞25＞0＞－5
＞－7.8＞－17
練習2
比較下列各數的大小關係：
－75、1、0、－6、9.1、－
、－15
解：
範例3
請在數線上標示出比5.99小，比－5大的所有整數；並由大到小將這些整數排列出來。
解：(1)
（2）5＞4＞3＞2＞1＞0＞－1＞－2＞－3＞－4
練習3
(1)在數線分別標示出－1.5、－3.8、
、4、－
的點。
(2)利用(1)的結果，比較上列各數的大小。
(3)哪一個點離原點最近？距離原點有幾個單位長？
解：
探索二：相反數
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相反數：數線上除了原點以外，凡是與原點距離相等、但分別位在原點左右兩側的兩個點所表示的數，就稱它們互為相反數。例如：＋7與－7、－2 相反數的表示：欲求一個數的相反數，只要在該數前面加上「－」號即可。例如11的相反數為－11，－5的相反數為－(－5)。又a的相反數為－a、－a的相反數為－(－a)。 兩相反數的和：兩數互為相反數，其和為0。 相反數概念：正數的相反數為負數、負數的相反數為正數、0的相反數為0。 |
範例4
請寫出下列各數的相反數：
1. 7.9 2. －399 3. 
4. －（－11
） 5. 0
解：1. －7.9 2. 399 3. －
4. －11
5. 0
練習4
如下圖，A、B、C、D、E五個點中，哪一個點是「－1
的相反數」？哪一個點是「4.5的相反數」？
解：
範例5
若甲、乙兩數互為相反數，且甲、乙兩數在數線上所對應的點之距離為8。已知甲數＜乙數，則甲、乙兩數各為多少？
解： 如圖所示甲＝－4；乙＝4
練習5
若甲、乙兩數互為相反數，且甲、乙兩數在數線上所對應的點之距離為17。已知甲數在原點的右邊，則甲、乙兩數各為多少？
解：
探索三：絕對值
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絕對值：1.一個數在數線上所對應的點與原點的距離，稱為這個數的絕對值，以符號” 2.一數 3.正數的絕對值為正數、負數的絕對值為正數、0的絕對值為0，亦即 4.正數的絕對值愈大，其值愈大；負數的絕對值愈大，其值愈小。 6.若 7.原點與原點重合，所以原點與原點的距離為0， 數線上兩點間的距離： 1.數線上A、B兩點所表示的數分別為a與b，則A、B兩點的距離＝ 2.表示法：數線上A、B兩點的距離常用 |
”
，也就是
範例6
寫出下列各數的絕對值：
1. －17 2. －
3.－4
4. －
5. 0
解：
1.
＝17
2.－
＝－9.5 ，故其絕對值＝
＝9.5。
3. 
＝4
4. 
＝
5. 
＝ 0
練習6
明儀在數線上找到一數
，且
＝8.3，則可能的值為多少？
解：
範例7
(1)絕對值小於6的整數有哪些？
(2)絕對值小於6的負整數有哪些？
解：
(1)－5、－4、－3、－2、－1、0、1、2、3、4、5
(2)－5、－4、－3、－2、－1
練習7
(1)若A為整數，且絕對值小於A的整數共有19個，則A＝？
(2)若B為整數，其絕對值小於8且大於4，則B的值可能為多少？
解：
範例8
若
＋10＝14，則A為多少？
解：
＝4，所以A＝4或－4
練習8
若
＋
＝0，求A、B兩數為多少？
解：
範例9
哈雷與派翠克到圖書館蒐集資料，若以數線(正向朝右)表示他們兩人的位置，已知哈雷在數線上代表7的點，則：
（1）若兩人相距9個單位，則派翠克所在的位置所代表的數為何？
（2）若「消失的密室」一書與哈雷相距5個單位，且在哈雷的左邊，則此書所在的位置，代表的數為何？
解：
（1）往右9格：7＋9＝16，往左9格：7－9＝－2，故派翠克所在的點可能在16或－2
（2）7－5＝2
練習9
數線上有兩點，分別為A（a）、B（11），若A、B兩點的距離為13，則a的相反數為何？
解：
範例10
如圖，有一隻螞蟻想將食物從A搬到B，若A的坐標為－1
，B的坐標為1
，已知每個單位長為12公分，則此螞蟻必須搬動多少公分？
解：
－1
到1
共有3個單位，每個單位為12公分，共需移動36公分
練習10
如下圖，文亭、凱達兩人分別位於數線上A、B兩點的位置，若每個單位為9公里，則兩人相距多少公里？
解：
範例11
計算
－
＋
之值為何？
解：原式＝7－6＋16＝17
練習11
計算
之值為何？
解：
PART 2：學習檢測站
一、選擇題
（ ）1.以下四位同學的敘述，請問有幾位的說法是正確的？
甲：兩數的絕對值相等時，兩數的大小必相等。
乙：若數線上正向朝右，則數線上愈右邊的點，代表的數愈大。
丙：0沒有絕對值
丁：絕對值愈大的數，離原點愈近
(A) 4個ˉ(B) 3個ˉ(C) 2個 (D) 1個
。
（ ）2.俊英班上同學共同訂下的班規如下：平時表現記「優點」一次者，生活教育競賽成績以＋1分表示；記「缺點」一次，則以－1分表示。俊英於學期結束時，共記優點27次，缺點32次，若優點部份的得分為a分、缺點部分的得分為b分，則｜a｜與｜b｜的大小為何？
(A)｜a｜＜｜b｜ˉ(B) ｜a｜＝｜b｜ˉ(C) ｜a｜＞｜b｜ (D) 以上均有可能
（ ）3.數線上－27到19兩點的距離可如何表示？ˉ
(A)｜(－27)＋19｜ˉ(B)｜(－27)－19｜ˉ(C)(－27)－19ˉ(D) (－27)＋19。
（ ）4.數線上有M（m）、N（n）兩點，若M、N皆在原點的左邊，且│m│＞│n│，則下列哪一個選項是正確的？
(A) m＞n (B) m＝n (Ｃ) m＜n (Ｄ)以上均有可能。
（ ）5.數線上有A、B、C、D、E五點，所表示的數分別是 －5、7、－3.5、 26、4，則原點必在哪兩個點之間？
(A) A與C之間 (B) B與E之間 (C) C與E之間 (D) D與E之間。
（ ）6.承上題，哪兩個點之間的距離最短？
(A) A與C之間 (B) B與E之間 (C) C與E之間
(D) D與E之間 。
（ ）7.關於絕對值的計算，下列哪一個選項是正確的？
(A)│－11│＋│－8│＝3 (B)│－7│－│＋4│＝11
(C) │－9│＋│－2│＝－9 (D)│－6│＋│－5│＝11
二、填充題：
1.明明寫出以下五個數：－13、9、－14、0、－
，則五個數中最大數為 ，最小數為 。
2.佳穎利用等臂天平比較甲、乙、丙、丁四個物品的重量，稱重結果如下圖，則四個物品中以
最重；以 最輕。
3.將3、－2
、1.7、－2
、4、0六個數由大到小排列出來，結果應為： 。
4.加州大地震後，某些地方因地震而隆起，某些地方卻因而下陷，若上升3公分以＋1表示，下降3公分以－1表示，蘇珊紀錄加州幾處地方的情形如下：－8、－5、＋11、－6、－19、－8.5，請問這幾處高度的移動情形，最多相差 公分。
5.世正從數線上0的位置出發，他先向右走8單位，再向左走11個單位，則世正最後會停留在數線上 的位置。
6.將－5、－15、－9、－11、0這五數的相反數加起來，總和是
7.甲、乙、丙分別站在數線上的三個點上，已知甲在乙、丙之間，且乙在丙的右邊，若原點O在丙的左邊，則甲、乙、丙、原點這四點由右而左依序排列應為： 。
8.數線上A、B兩點所表示的數互為相反數，已知A、B兩點的距離是18個單位長，其中較小的數為 。
9.若 |a–5|＋|b－7|＝0，求a＋b ＝
。
PART 3:高手競技場
（ ）1.有一投球遊戲，它的記分方式為：每投進一球得7分，罰進一球得3分，則下列哪一個分數不可能出現在記分板上？
(A) 24分 (B)19分 (C)16分 (D)11分。
（ ）2.下列何組數會使｜a－b｜＞｜a｜－｜b｜的關係成立？
(A) a＝－4，b＝－3 (B) a＝7，b＝－6 (C) a＝9，b＝3 (D) a＝6，b＝0。
（ ）3.在上圖(一)的數線上，O為原點，數線上的點P、Q、R、S所表示的數分別為
、b、c、d。請問下列哪一個大小關係是不正確的？
（92年第一次學測）
(A)
＜
(B)
＝
(C)
＞
(D)
＜
（ ）4.已知甲、乙均為整數，且｜甲｜＋｜乙｜＝1，則甲＋乙可能為下列何數？
(A) －2 (B) －1 (C) 0
(D)以上均有可能。
（ ）5.數線上
表示29到13的距離，那麼
在數線上可以代表何種意義？
(A) 9到15的距離
(B)－9到－15的距離
(C)9到－15的距離 (D)9到24的距離。
（ ）6.設甲、乙均為整數，且4｜甲－7｜＋｜乙－9｜＝1，則甲＋乙＝？
(A) 15 (B) 16 (C)17 (D)15或17。
（ ）7.若P點在原點左邊，則P（2k）與原點的距離為多少？
(A) k (B)2k (C)－2k (D) 0。
（ ）8.數線上有四點，分別為A（a）、B（b)、C（c）、D（d），已知｜a－b｜＜｜c－d｜，且a、b為同號數，c、d為異號數，則下列哪一個選項可能是A、B、C、D在數線上的位置？
(A)
(B)
(C) 
(D) 
PART 4：資源補給庫
一、數學燈謎
A：以下各題，每題均猜一個「四字成語」
1.15分鐘=1000元 (
)
2.八分之七 (
)
B：以下各題，每題均猜一個字
1.十八斤
( )
2.1－1不是零 ( )
3.加一倍不少，加一橫不好 ( )
C：以下各題，每題均猜一個數學名詞
1.一分錢一分貨
( )
2.妳盼著我，我盼著妳 ( )
3.成績
(
)
二、數學趣聞
※乾隆挑戰紀曉嵐
紀昀，字曉嵐，除了以才學聞名外,其幽默風趣的性格及機智過人的言行,更為人所津津樂道。清朝乾隆曾出過一道詞謎，想挑戰學識淵博的紀曉嵐。以下的詞謎中，句句都隱藏著一個數字，想想看，每一句代表的是什麼字呢？
「下珠簾焚香去卜卦，
問蒼天，儂的人兒落在誰家？
恨王郎全無一點真心話，
欲罷不能罷，
吾把口來壓！
論文字交情不差，
染成皂難講一句清白話，
分明一對好鴛鴦卻被刀割下，
拋得奴力盡手又乏，
細思量口與心俱是假。」
三、數字精算師
利用1、2、3、4、5這五個數字與加、減、乘、除這四種運算符號以及括號，寫出運算式，使得運算結果分別為6、7、8。注意喔，每一個數字都一定要用到且只能使用一次，準備好了嗎？挑戰一下吧！
四、腦筋急轉彎
假設你是個公車司機，而你想知道沿途乘客上下車的情況。在起站時，只有司機一人，下一站有8位上車，再下一站有5位上車、2位下車，到火車站時有4位上車、沒有人下車。請問公車司機今年幾歲？
參考資料及網站：
小澤健一編（民90）。在遊戲中學數學。台北：國際村文庫。
李國賢（民93）。趣味數學國中數學遊戲篇。台北：新潮社。
張遠南和張昶譯（民92）。原來數學這麼有趣。台北：世茂。
蔣聲和陳瑞琛（民91）。趣味算術考腦筋。香港：智能教育。
蔣聲和陳瑞琛（民91）。趣味算術再闖關。香港：智能教育。
國立編譯館（民86）。選修數學第一冊。台北：作者。
http://www.mathland.idv.tw/recreat/puzz.htm
本單元參考解答
PART
1：主題探索窗參考答案：
練習1：(1)－38 ＜ －37 (2) －0.001 ＜ －0.00001
(3) ( 3－8) ＜ (8－3) (4) 0 ＞ －9.9
練習2： 9.1＞1＞0＞－6＞－
＞－15
＞－75
練習3： (1)數線圖
(2) －3.8＜－1.5＜－
＜
＜4
(3)－
離原點最近，距離原點
個單位長
練習4：－1
的相反數為1
，故為B點
4.5的相反數為－4.5，故為E點
練習5：甲＝8.5；乙＝－8.5
練習6：8.3或－8.3
練習7：(1) (19－1)÷2＝9，所以A＝10
(2) －7、－6、－5、5、6、7
4＜｜B｜＜8，所以｜B｜＝5、6、7，故B可為5、6、7或－5、－6、－7
練習8：A＝14、B＝－8
＝0且
＝0，故A＝14、B＝－8
練習9：A、B兩點的距離為13，且B的坐標為11，故a＝24或－2
故a的相反數為－24或2
練習10：A＝－1
，B＝2
，兩人相距1
＋2
＝4
（單位），因為1個單位是
×9＝39（公里）
練習11：原式＝
＝
PART 2：學習檢測站參考答案：
一、選擇題
1.D 2.A 3.B 4.C 5.C 6.A 7.D
詳解：
1.甲：兩數的絕對值相等時，兩數未必相等，例如3與－3的絕對值均為3。
丙：0的絕對值為0
丁：絕對值愈大的數，離原點愈遠
2.a＝27、b＝－32，故｜a｜＝27、｜b｜＝32，所以｜a｜＜｜b｜
3.兩點距離為兩坐標相減加上絕對值
4.M、N兩點皆在原點的左邊，故m＜0且n＜0
又│m│＞│n│，M在N的左邊，∴n＞m
6.A與C距離為1.5，B與E距離為3，C與E距離為7.5，D與E距離為22
7.│－11│＋│－8│＝11＋8＝19
│－7│－│＋4│＝7－4＝3
│－9│＋│－2│＝9＋2＝11
│－6│＋│－5│＝6＋5＝11
二、填充題：
1.9、－14
2.丁、丙
3.4＞3＞1.7＞0＞－2
＞－2
4.90公分
5.－3
6.40
7. 乙、甲、丙、原點
8.－9
9. 12
詳解：
1.最大9，最小－14。
2.由圖可知乙＞甲、甲＞丙、丁＞乙，根據遞移律可得丁＞乙＞甲＞丙，故丁最重，丙最輕
3.4＞3＞1.7＞0＞－2
＞－2
4.最高和最低相差30個單位，每個單位
8.兩數分別為9與－9，故較小數為－9。
9.a＝5，b＝7，a＋b＝12
PART 3:高手競技場參考答案：
1.D 2.B 3.A 4.B 5.C 6.D 7.C 8.A
詳解：
1.(A)
3×8＝24 (B) 7＋3×4＝19 (C) 7＋3×3＝16
3.
＞
6.甲＝7、乙＝10或8，甲＋乙＝7＋10＝17或7＋8＝15
7.2k＜0，則│2k│＝－2k
8.a×b＞0，a、b為同號數；c×d＜0，c、d為異號數，又
＜
，故選A
PART 4：資源補給庫參考答案：
一、數學燈謎
A：1. 一刻千金 2.七上八下
詳解：
2.：八分之七可寫成
，分子7在上；分母8在下。
B： 1.析 2.三 3.夕
詳解：
3.：不少就是「多」，多的一半為「夕」，夕加一橫就成「歹」字，歹就是不好
C: 1.絕對值 2.相等 3.分數。
二、數學趣聞
※乾隆挑戰紀曉嵐
參考答案：一二三四五六七八九十（猜對了嗎？說明如下：）
「下珠簾焚香去卜卦， “ 下”去“卜”是一； （一）
問蒼天，儂的人兒落在誰家？ “天”不見“人”是二； （二）
恨王郎全無一點真心話， “王”無“一”是三； （三）
欲罷不能罷， “罷”去“能”是四 （四）
吾把口來壓！
“吾”去了“口”是五；（五）
論文字交情不差，
“交”不要差(叉，指×)是六；（六）
染成皂難講一句清白話， “皂”去了“白”是七； （七）
分明一對好鴛鴦卻被刀割下， “分”去了“刀”是八； (八）
拋得奴力盡手又乏， “拋”去了“力”和“手”是九； （九）
細思量口與心俱是假。」“思”去了“口”和“心”是十。（十）
三、數字精算師(解法並非唯一)
結果為6：1×2＋3－4＋5＝6
結果為7：1＋2＋3－4＋5＝6－4＋5＝7
結果為8：（1＋2）×3＋4－5＝9＋4－5＝8
上面的解法並非唯一，例如以下情況：
結果為6：3＋5－4÷2×1＝6
結果為7：1×2×3－4＋5＝7
結果為8：2×4＋5－4－1＝8
發揮創意，再找找其他的可能吧！
四、腦筋急轉彎
公車司機的年齡就是你的年齡，想到了嗎？(因為題目一開始就假設你是個公車司機)。