第一冊  主題一  數與數線

1-2:數的大小與絕對值

PART 1:主題探索窗


探索一:比較數的大小

數的大小關係:

1.三一律:比較ab兩數的大小時,下列三種關係,恰有一種成立:ababab

2.遞移律:abc為三個數,則下列的關係必成立:
(1)
abbc,則ac

(2)abbc,則ac。例如977>-2,則9>-2

(3)abbc,則ac。例-6<-5,-5<-3,則-6<-3

3.若數線上的正向往右,則

(1)數線上右邊的數恆大於左邊的數:數的大小可藉由它們在數線上所表示的位置來比較。

例如:159大,數線上點A(15)會在點B(9)的右邊,習慣上「159大」記作「159」(讀作15大於9),也可記作「915」(讀作9小於15

(2)數線上愈右邊的數,代表的數愈大;愈左邊的點,代表的數愈小。

(3)正數>0>負數:數線上,正數都在原點的右邊且正數均大於0;負數都在原點的左邊且負數均小於0

 

範例1

比較下列各題中兩數的大小:(請在空格中填入>、=或<)

(1)101        101       (2) 8        12

(3) 0         4         (4) 0         5.8

解:(1)101     101        (2) 8      12

    (3) 0       4         (4) 0        5.8

練習1

比較下列各題中兩數的大小:(請在空格中填入>、=或<)

(1) 38       37        (2) 0.001       0.00001

(3) (38)        (83)   (4) 0       9.9

解:

範例2

比較下列各數的大小關係,並以>、=、<表示:
38
、-17、-5 025、-7.8

解:先比較正數的大小關係:3825再比較負數的大小關係:-5 >-7.8>-17根據遞移律及「正數>0>負數」之原則,可得38250>-5 >-7.8>-17

練習2

比較下列各數的大小關係:

7510、-69.1、- 、-15

解:

範例3

請在數線上標示出比5.99小,比-5大的所有整數;並由大到小將這些整數排列出來。

解:(1)
2543210>-1>-2>-3>-4


練習3

(1)在數線分別標示出-1.5、-3.8 4、- 的點。

(2)利用(1)的結果,比較上列各數的大小。

(3)哪一個點離原點最近?距離原點有幾個單位長?

解:

 

探索二:相反數

相反數:數線上除了原點以外,凡是與原點距離相等、但分別位在原點左右兩側的兩個點所表示的數,就稱它們互為相反數。例如:+7與-7、-2 2 3.8與-3.8都互為相反數。

相反數的表示:欲求一個數的相反數,只要在該數前面加上「-」號即可。例如11的相反數為-11,-5的相反數為-(5)。又a的相反數為-a、-a的相反數為-(a)

兩相反數的和:兩數互為相反數,其和為0

相反數概念:正數的相反數為負數、負數的相反數為正數、0的相反數為0

 

範例4

請寫出下列各數的相反數:

1. 7.9   2. 399  3.   4. -(-11  5. 0

解:1. 7.9   2. 399  3.   4. 11    5. 0

練習4

如下圖,ABCDE五個點中,哪一個點是「-1 的相反數」?哪一個點是「4.5的相反數」?

解:

 

範例5

若甲、乙兩數互為相反數,且甲、乙兩數在數線上所對應的點之距離為8。已知甲數<乙數,則甲、乙兩數各為多少?

 

解: 如圖所示甲=-4;乙=4

 

練習5

若甲、乙兩數互為相反數,且甲、乙兩數在數線上所對應的點之距離為17。已知甲數在原點的右邊,則甲、乙兩數各為多少?

解:

 

探索三:絕對值

絕對值1.一個數在數線上所對應的點與原點的距離,稱為這個數的絕對值,以符號表示。

2.一數 的絕對值記作 ,例如-7的絕對值記作 。又-7到原點的距離為7,可記作 7
讀作-7的絕對值等於7

3.正數的絕對值為正數、負數的絕對值為正數、0的絕對值為0,亦即 為任意數,則 0

4.正數的絕對值愈大,其值愈大;負數的絕對值愈大,其值愈小。

6.b互為相反數,則它們的絕對值相等,

7.原點與原點重合,所以原點與原點的距離為0
0

數線上兩點間的距離:

1.數線上AB兩點所表示的數分別為ab,則AB兩點的距離= ,也就是b兩數中,大數減去小數的差。

2.表示法:數線上AB兩點的距離常用 表示,亦即指AB兩點的連線段或長度。

 

範例6

寫出下列各數的絕對值:

1. 17     2.    3.4   4.    5. 0

解:

     1. 17        

     2. =-9.5 ,故其絕對值= 9.5

     3. 4      

     4.      

     5. 0


練習6

明儀在數線上找到一數 ,且 8.3,則可能的值為多少?

解:

範例7

(1)絕對值小於6的整數有哪些?

(2)絕對值小於6的負整數有哪些?

解:

(1)5、-4、-3、-2、-1012345

(2)5、-4、-3、-2、-1

練習7

(1)A為整數,且絕對值小於A的整數共有19個,則A=?

(2)B為整數,其絕對值小於8且大於4,則B的值可能為多少?

解:

範例8

1014,則A為多少?

解: 4,所以A4或-4

練習8

0,求AB兩數為多少?

解:

範例9

哈雷派翠克到圖書館蒐集資料,若以數線(正向朝右)表示他們兩人的位置,已知哈雷在數線上代表7的點,則:

(1)若兩人相距9個單位,則派翠克所在的位置所代表的數為何?

(2)若「消失的密室」一書與哈雷相距5個單位,且在哈雷的左邊,則此書所在的位置,代表的數為何?

解:

1)往右9格:7916,往左9格:79=-2,故派翠克所在的點可能在16或-2

2752

練習9

        數線上有兩點,分別為Aa)、B11),若AB兩點的距離為13,則a的相反數為何? 

解:

範例10

如圖,有一隻螞蟻想將食物從A搬到B,若A的坐標為-1 B的坐標為1 ,已知每個單位長為12公分,則此螞蟻必須搬動多少公分?

解:

1 1 共有3個單位,每個單位為12公分,共需移動36公分

練習10

JWC3-1-1-2-3

如下圖,文亭凱達兩人分別位於數線上AB兩點的位置,若每個單位為9公里,則兩人相距多少公里?

解:

範例11

計算 之值為何?

解:原式=761617

練習11

計算 之值為何?

解:

PART 2:學習檢測站

一、選擇題

 1.以下四位同學的敘述,請問有幾位的說法是正確的?

甲:兩數的絕對值相等時,兩數的大小必相等。

乙:若數線上正向朝右,則數線上愈右邊的點,代表的數愈大。

丙:0沒有絕對值

丁:絕對值愈大的數,離原點愈近

(A) 4個ˉ(B) 3個ˉ(C) 2 (D) 1 

 2.俊英班上同學共同訂下的班規如下:平時表現記「優點」一次者,生活教育競賽成績以+1分表示;記「缺點」一次,則以-1分表示。俊英於學期結束時,共記優點27次,缺點32次,若優點部份的得分為a分、缺點部分的得分為b分,則|a|與|b|的大小為何?

(A)a|<|b|ˉ(B) a|=|b|ˉ(C) a|>|b(D) 以上均有可能 

  3.數線上-2719兩點的距離可如何表示?ˉ

(A)(27)19|ˉ(B)(27)19|ˉ(C)(27)19ˉ(D) (27)19

  4.數線上有Mm)、Nn)兩點,若MN皆在原點的左邊,且│m│>│n│,則下列哪一個選項是正確的?  
(A) mn   (B) mn  () mn   ()以上均有可能。

 5.數線上有ABCDE五點,所表示的數分別是 -57、-3.5264,則原點必在哪兩個點之間?
(A) A
C之間 (B) BE之間 (C) CE之間 (D) DE之間。

 6.承上題,哪兩個點之間的距離最短?
(A) A
C之間     (B) BE之間    (C) CE之間   (D) DE之間 。

 7.關於絕對值的計算,下列哪一個選項是正確的?
(A)
│-11│+│-8│=3     (B)│-7│-│+4│=11
(C) │-9│+│-2│=-9   (D)│-6│+│-5│=11                         

 

二、填充題:

1.明明寫出以下五個數:-139、-140、- ,則五個數中最大數為        ,最小數為       

2.佳穎利用等臂天平比較甲、乙、丙、丁四個物品的重量,稱重結果如下圖,則四個物品中以       最重;以       最輕。

 

 

3.3、-2 1.7、-2 40六個數由大到小排列出來,結果應為:                                     

4.加州大地震後,某些地方因地震而隆起,某些地方卻因而下陷,若上升3公分以+1表示,下降3公分以-1表示,蘇珊紀錄加州幾處地方的情形如下:-8、-5、+11、-6、-19、-8.5,請問這幾處高度的移動情形,最多相差          公分。

5.世正從數線上0的位置出發,他先向右走8單位,再向左走11個單位,則世正最後會停留在數線上         的位置。

6.將-5、-15、-9、-110這五數的相反數加起來,總和是        

7.甲、乙、丙分別站在數線上的三個點上,已知甲在乙、丙之間,且乙在丙的右邊,若原點O在丙的左邊,則甲、乙、丙、原點這四點由右而左依序排列應為:                          

8.數線上AB兩點所表示的數互為相反數,已知AB兩點的距離是18個單位長,其中較小的數為        

9.|a–5||b7|0,求ab          

     

PART 3:高手競技場

 1.有一投球遊戲,它的記分方式為:每投進一球得7分,罰進一球得3分,則下列哪一個分數不可能出現在記分板上?
(A) 24
分 (B)19分  (C)16分 (D)11分。

 2.下列何組數會使|ab|>|a|-|b|的關係成立?
(A) a
=-4b=-3  (B) a7b=-6 (C) a9b3  (D) a6b0

 

 

 



 3.在上圖(一)的數線上,O為原點,數線上的點PQRS所表示的數分別為 bcd。請問下列哪一個大小關係是不正確的?
92年第一次學測)

(A)    (B)  (C)  (D)

 4.已知甲、乙均為整數,且|甲|+|乙|=1,則甲+乙可能為下列何數?
(A)
2  (B) 1 (C) 0  (D)以上均有可能。

 5.數線上 表示2913的距離,那麼 數線上可以代表何種意義?
(A) 915的距離    (B)9到-15的距離  
(C)9到-15的距離   (D)924的距離

 6.設甲、乙均為整數,且4|甲-7|+|乙-9|=1,則甲+乙=? 
(A) 15
  (B) 16  (C)17   (D)1517

 7.P點在原點左邊,則P2k)與原點的距離為多少?
(A) k (B)2k  (C)2k (D) 0

  8.數線上有四點,分別為Aa)、Bb)Cc)、Dd),已知|ab|<|cd|,且ab為同號數,cd為異號數,則下列哪一個選項可能是ABCD在數線上的位置?
(A)

(B)
(C) 
      
(D)  


PART 4:資源補給庫

一、數學燈謎

A:以下各題,每題均猜一個「四字成語」
1.15
分鐘=1000            (             ) 
2.
八分之七 
                    (             ) 

B:以下各題,每題均猜一個字
1.
十八斤                       (             )  
2.1
1不是零                 (             )  
3.加一倍不少,加一橫不好      (             )

C:以下各題,每題均猜一個數學名詞
1.
一分錢一分貨                 (             )
2.
妳盼著我,我盼著妳           (             ) 
3.成績                        (             )

 

二、數學趣聞

乾隆挑戰紀曉嵐

紀昀,字曉嵐,除了以才學聞名外,其幽默風趣的性格及機智過人的言行,更為人所津津樂道。乾隆曾出過一道詞謎,想挑戰學識淵博的紀曉嵐。以下的詞謎中,句句都隱藏著一個數字,想想看,每一句代表的是什麼字呢?

「下珠簾焚香去卜卦,

問蒼天,儂的人兒落在誰家?

恨王郎全無一點真心話,

欲罷不能罷,

吾把口來壓!

論文字交情不差,

染成皂難講一句清白話,

分明一對好鴛鴦卻被刀割下,

拋得奴力盡手又乏,

細思量口與心俱是假。」

 

三、數字精算師

利用12345這五個數字與加、減、乘、除這四種運算符號以及括號,寫出運算式,使得運算結果分別為678。注意喔,每一個數字都一定要用到且只能使用一次,準備好了嗎?挑戰一下吧!

四、腦筋急轉彎

假設你是個公車司機,而你想知道沿途乘客上下車的情況。在起站時,只有司機一人,下一站有8位上車,再下一站有5位上車、2位下車,到火車站時有4位上車、沒有人下車。請問公車司機今年幾歲?

 

參考資料及網站:

小澤健一編(民90)。在遊戲中學數學。台北:國際村文庫。

李國賢(民93)。趣味數學國中數學遊戲篇。台北:新潮社。

張遠南和張昶譯(民92)。原來數學這麼有趣。台北:世茂。

蔣聲和陳瑞琛(民91)。趣味算術考腦筋。香港:智能教育。

蔣聲和陳瑞琛(民91)。趣味算術再闖關。香港:智能教育。

國立編譯館(民86)。選修數學第一冊。台北:作者。

http://www.mathland.idv.tw/recreat/puzz.htm

http://www.mathland.idv.tw/

 

本單元參考解答

PART 1:主題探索窗參考答案:

練習1(1)38      37    (2)  0.001     0.00001
(3) ( 3
8)        (83)    (4)  0    9.9

練習29.110>-6>- >-15 >-75

練習3(1)數線圖
(2)
3.8<-1.5<- 4
(3)
離原點最近,距離原點 個單位長

練習4:-1 的相反數為1 ,故為B
4.5
的相反數為-4.5,故為E

練習5:甲=8.5;乙=-8.5

練習68.3或-8.3

練習7(1) (191)÷29,所以A10

(2) 7、-6、-5567
4
B|<8,所以|B|=567,故B可為567或-5、-6、-7

練習8A14B=-8
0 0,故A14B=-8

練習9AB兩點的距離為13,且B的坐標為11,故a24或-2
a的相反數為-242

練習10A=-1 B2 ,兩人相距1 2 4 (單位),因為1個單位是9公里,所以兩人相距4 ×939(公里)

練習11:原式=

 

PART 2學習檢測站參考答案:

一、選擇題

         1.D     2.A    3.B     4.C    5.C    6.A   7.D    

詳解:

1.甲:兩數的絕對值相等時,兩數未必相等,例如3與-3的絕對值均為3
丙:0的絕對值為0
丁:絕對值愈大的數,離原點愈遠

2.a27b=-32,故|a|=27、|b|=32,所以|a|<|b

3.兩點距離為兩坐標相減加上絕對值

4.MN兩點皆在原點的左邊,故m0n0
又│m│>│n│,MN的左邊,∴nm

6.AC距離為1.5BE距離為3CE距離為7.5DE距離為22

7.│-11│+│-8│=11819
│-7│-│+4│=743
│-9│+│-2│=9211

│-6│+│-5│=6511

 

二、填充題:
1.9、-14 
2.
丁、丙   
3.4
31.70>-2 >-2

4.90公分   
5.
3   
6.40  
7.
乙、甲、丙、原點

8.9     
9. 12

 

詳解:

1.最大9,最小-14

2.由圖可知乙>甲、甲>丙、丁>乙,根據遞移律可得丁>乙>甲>丙,故丁最重,丙最輕

3.431.70>-2 >-2

4.最高和最低相差30個單位,每個單位3公分,故為90公分

8.兩數分別為9與-9,故較小數為-9

9.a5b7ab12

PART 3:高手競技場參考答案:

1.D     2.B    3.A     4.B    5.C    6.D   7.C    8.A

詳解:

1.(A) 3×824  (B) 73×419  (C) 73×316 

3.

6.甲=7、乙=108,甲+乙=710177815

7.2k0,則│2k│=-2k

8.a×b0ab為同號數;c×d0cd為異號數,又 ,故選A

 

PART 4:資源補給庫參考答案:

一、數學燈謎

A1. 一刻千金  2.七上八下

詳解:

2.:八分之七可寫成 ,分子7在上;分母8在下。

B1.    2.    3.

詳解:

3.:不少就是「多」,多的一半為「夕」,夕加一橫就成「歹」字,歹就是不好

C: 1.絕對值  2.相等   3.分數

二、數學趣聞

乾隆挑戰紀曉嵐  

參考答案:一二三四五六七八九十(猜對了嗎?說明如下:)

珠簾焚香去卦,       是一;   (一)

問蒼,儂的兒落在誰家? 不見是二; (二)

郎全無點真心話,    是三;    (三)

罷,              是四     (四)  

來壓!                去了是五;(五)  

論文字情不       不要差(叉,指×)是六;(六)  

染成難講一句清話,   去了是七;   (七)  

明一對好鴛鴦卻被割下,  去了是八; (八)  

得奴又乏,  去了是九; (九)  

俱是假。」去了是十。(十)

 

三、數字精算師(解法並非唯一)

結果為61×23456

結果為7123456457

結果為8:(12)×3459458

上面的解法並非唯一,例如以下情況:

結果為6354÷2×16

結果為71×2×3457

結果為82×45418

發揮創意,再找找其他的可能吧!

四、腦筋急轉彎

公車司機的年齡就是你的年齡,想到了嗎?(因為題目一開始就假設你是個公車司機)

創用CC標示:
CC