第一冊  主題一  數與數線

1-3:整數的加減運算

PART 1:主題探索窗

探索一:整數的加法

同號數:性質符號相同的兩數稱為同號數,如-3、-3.4

異號數:性質符號不同的兩數稱為異號數,如+1、-3

整數的加法運算:

1.同號數相加

(1) 已知ab為整數,當a0b0時:則ab=+()=+(ab)。例如:79=+(79)=+16

(2) 已知ab為整數,當a0b0時:則ab=-()
=-(ab)。

例如:(7)(9)=-()=-(79)=-16

2.異號數相加

(1) 已知ab為整數,當a0b0時:
ab=+()

例如:(9)(7)=+()=+(97)=+2

(2) a0b0時:則ab=-()

例如:(7)(9)=-()=-(97)=-2

整數的加法運算的結果:

1.正數+正數:結果為正數,其值變大。

2.正數+負數:(1)若正數的絕對值較大,結果為正數。

(2)若負數的絕對值較大,結果為負數。

(3)若正、負數的絕對值一樣大,結果為0

3.負數+負數:結果為負數,其值變小。

4.整數+0:若a表任意整數,則a00aa

加法運算性質:

1.加法交換律:AB為任意整數,則ABBA;例3883

2.加法結合律:ABC為任意整數,則AB)+CA+(BC

例:(99127)7399(12773)

 

範例1

計算下列各式的值:

(1)(-78)+278   (2)  (47)(53)   (3)(-63)+0

解:(1) (-78)+278=+(27878)=200 

(2)  (47)(53)=-(4753)=-100   

(3)(-63)+0=-63

練習1

計算下列各式的值:

(1)(-91)+(-119  (2)  (148)58 (3) 0+(-99999

解:

範例2

利用加法的交換律、結合律,求下列各式之值:

1(47)133+(-53

2(17)(22)(23)(18)(30)

解:

1)原式=[(47)+(-53]133=-10013333

2)原式=[(17)(23)][(22)(18)]+(-30

(40)(40)+(-30)=-110

練習2

利用加法的交換律、結合律,求下列各式之值:

1[1998(1679)]1679   (2) 9876[754(9875)]

2(67)(22)(33)(78)(325)

解:

範例3

(6)+(-5)+(4)(3)(2)(1)01234=?

解:原式=(6)+(-5)+[(4)(3)(2)(1)01234](6)+(-5)=-11

練習3

(-11)+(-10)+(-9)+……+(-1)+012+…+7=?

解:

範例4

學期末班上舉辦圍棋比賽,若每贏一場得3分,輸一場扣2分,和棋則雙方不得分也不扣分。已知俊秀共下了6盤棋,比賽結果為:2勝、2和、2負,則俊秀共得幾分?ˉ

解:2勝、2和、2負,所以總得分為(+6)+0+(-4)=+2

練習4

魔法學校的校規制定:平時表現記「優點」一次者,操行成績以+2分表示;記「缺點」一次,則以-1分表示。哈利於學期結束時,共記優點31次,缺點9次,若優點部份的總得分為a分、缺點部分的總得分為b分,則:

1a=?  b=?

2ab=?

3)|ab|=?

4)|a|+|b|=?     

(5) a|-|b|=?

解:

範例5

阿輝班上分成ABCD四組玩遊戲,遊戲規則如下:每組答對一題給一分,答錯一題扣一分,且每題都必須作答。當各組都答完十一題後,得分如下表。請根據各組的得分結果,判斷每一組各答對幾題?答錯幾題?

 

A

B

C

D

7

3

1

1

 

 

 

解:

A組:(9)(2)=+7,故答對9題,答錯2題。

B組:(4)(7)=-3,故答對4題,答錯7題。

C組:(5)(6)=-1,故答對5題,答錯6題。

D組:(6)(5)=+1,故答對6題,答錯5題。

 

練習5

馬份騎著飛天掃帚飛行在東西向的數線上(正向朝右),他先從原點向東方飛行5公里,再向西飛行18公里,接著又向東飛行9公里,最後再向西飛行7公里,則:

(1)馬份共飛行多少公里?

(2)馬份最後的位置在原點的東方或西方幾公里處?

解:

範例6

體育課舉行班際拔河比賽,裁判在繩子的正中央打個紅結,甲班與乙班比賽的過程如下:甲班先拉回9公分,被乙班拉回7公分,甲班再拉回11公分,又被乙班拉回14公分,最後哨聲響起,比賽結束,請問哪一個班級贏得比賽?此時紅結與開始的位置相距幾公分?

解:(19+(-7)+(11)+(-14)=-1故乙班獲勝。
21 公分

練習6

進安的爸爸做進出口貿易,一月份賺12萬元,二月份賠8萬元,三月賺14萬元,四月賠2萬元,五月份賺7萬元,請問這五個月結算後,共賺或賠多少元?

解:

探索二:整數的減法

整數-正數

ab為整數,則aba(b),即abab的相反數。

例如:(6)(9)(6)(9)=-(69)=-15

(減去9就是加上-9

整數-負數

ab為整數,則aba(b),即abab的相反數

例如:7(5)7512

(減去-5就是加上5

正、負數的減法運算概念

1.大數-小數=正數;小數-大數=負數

2.整數的加、減混合運算中,我們一般會將減法轉化為加法再運算。

 

範例7

計算下列各式:

1723    2)-2514 306   (4)(9)(11)

解:(1)16    2)-39  3)-6   (4) 2

 

練習7

完成下列的空格:

1)(-18)-72(18)(     )(      )

2010000(    )(       )

(3) 4134(     )(      )

解:

範例8

計算下列各式:

1125(25)  2(48)(72)  30(79) 

解:(1)150    224  379


練習8

完成下列的空格:

1)(-37)-(73)(37)(    )(      )

28-(-22)=8(      )(     )

(3) (5)(32)(5)(     )(      )

解:

範例9

計算下列各式:

(1)  7+(-2)-(-6

(2) (-38)-(+48)+(-32

(3)  013+(-6)-(-23

解:(1)原式=7+(-2)+611

    (2)原式=(38)+(-48)+(-32)=-118

    (3)原式=0(13)+(-6)+234

練習9

計算下列各式:

(1) 25-(-37

(2) 4317

(3) +(-11

解:

範例10

數線上有兩個點AB,若A的坐標為-25B的坐標為47,則AB兩點的距離為多少?

解:

72

答:72


練習10

若以海平面為基準,海平面以上一個單位用「+1」表示,以下一個單位用「-1」表示:

(1)若每個單位均為5公分,則由-8到+5的距離,應為多少公分?

(2)承上,與+3的距離為50公分的位置,應標記為何?

解:

 

範例11

計算[(-15)-23] [42+(-12]-(-59)之值為何?

解:

原式=-383059=-6859=-9

答:-9

練習11

計算[(-13)+6] [37+(-42]之值?

解:

 

PART 2:學習檢測站

一、選擇題

 1.若一張正卡代表+2分,一張負卡代表-1分。亦珍10張正卡、6張負卡,瑩潔13張正卡、12張負卡,則誰的得分較高?

(A)亦珍ˉ (B)瑩潔 ˉ(C)一樣高 ˉ(D)無法確定。

 2.學校舉辦園遊會,所有費用結清後,七年一班賠了960元,七年二班賺了2540元,請問七年二班比七年一班多賺幾元?   
(A)3500
ˉ(B)1580 (C)1580ˉ(D)3500 元。

 3.下列各式何者的值最小?
(A)(
19)27   (B)(58)46   (C)(108)95  (D)(59)48

 4.下列哪一個數減去2後,其絕對值小於4? ˉ
(A)
3ˉ  (B)1    (C)6  ˉ(D)9

 5.數學課老師出了四道是非題,滿分一百分,每答錯一題扣25分,以下是佳燕答題的結果,請問她的得分為幾分?

(○)1.68212168

( ×)2. 25+(-16)=1625

(○)3.12356=-(12356)。 

( ×)4.(38)-(-71)=-(3871)。

(A) 100分 (B)75分 (C)50分 (D)25分。

 6.家瑜將甲、乙兩個整數相加,結果為負數,則下列哪一個選項是正確的?
(A)
甲必定為正數 (B)乙必定為負數 (C)甲、乙兩數都必為負數 (D)甲、乙兩數至少有一個為負數。

 7.一架直升機起飛到離地面520公尺的空中後,若保持此高度且盤旋15,接著向上爬升480公尺,再向下俯衝245公尺,請問此時直升機離地面多少公尺?   (A)1260公尺ˉ(B)770公尺   (C)755公尺ˉ(D)685公尺

 8.曉君做四道數學題,計算過程如下,請問有幾個算式是正確的?

(甲)49+(-23)=2349

(乙)-9921321399

(丙)-7225=-(7225)。

(丁) (-78)-(-27)=-(7827)。
(A) 4
個ˉ (B)3   (C)2個ˉ (D)1個。

  9.已知甲=9、乙=9=9.57、丁=-9,則下列哪一數最大?
(A)
甲  (B)乙  (C) 丙   (D) 丁。

 10.以下是121的天氣預報,請問北京的最高溫比最低溫高出多少度?
(A)7   (B)5  (C)3   (D)2

地點

台北

紐約

北京

莫斯科

氣溫

15~20

4~9.5

2~5

11~2

 

  11.承上題,四個城市中,最高溫與最低溫相差最多的是哪一個?
(A)
台北ˉ(B) 紐約ˉ(C) 北京ˉ(D) 莫斯科

  12.曉敏在靶子上射6枝飛鏢,靶上共有五個得分區,分別為13579分,若每枝都射中目標(沒有落在邊緣上),則下列何者不可能為其總得分?
(A) 8
ˉ(B) 34ˉ(C) 42ˉ(D) 53   分。

 13.以下有甲、乙、丙、丁四個數,請問有幾個是負數?
甲=(-56
.56)+(-67.67)-(-121.121
乙=(-34)-(-13)-(-50.98
丙=(-87
.12)-(-98
丁=(-12
.341)+44.83+(-25.32
(A)1   (B)2   (C)3   (D)4個。

  14.附圖中有六件物品,顧客需任選兩件一起購買,其計價方式為:將選取的兩件物品之價格合計後,以10元為單位,用四捨五入法取一數值,此數值即為售價。若小明將它們作適當的組合後,可用最低價購買此六件物品,求此最低價為何?
(A) 350
   (B) 360   (C) 370   (D) 380元。
                                (94
年第二次基測)

JC94-2C-2-27

JC94-2C-2-32

JC94-2C-2-29

JC94-2C-2-28

JC94-2C-2-30

JC94-2C-2-31

 

二、填充題:

1.國樑寫一數學算式: (11)(87)(29)(8)-(+3),請問算式中共有      個性質符號;        個運算符號。

2.某日陽明山清晨的溫度是6,到了中午上升7,晚上溫度又比中午溫度下降9,則晚上的溫度為       ℃。

3進發90分為基準,每多1分以+1表示,每少1分以-1表示,以下是他七次平時考的紀錄結果:-9、+8、-11、+70、+9、-5,則七次成績中,最高與最低相差       分。

4.毅詢買了一個冰庫,其溫度為7,記為+7;今將它調低9之後,溫度為          ℃。

5.計算下列各式:
(1)  18
-(+43)-(-12)=          
(2)
(-13)-(-24)=           
(3) (
25)(4)(7)           

6.數線上有一隻螞蟻在-12的位置,為了尋找北海回味鍋,牠先向左走15個單位,再向右走9個單位,最後又向左走14個單位,終於找到北海回味鍋,則回味鍋的位置所代表的數為         

7.(-38)-(+27)+            42

8.計算|823|-|-11|+|(-45)-(-4)|=       

9.雅林的班上分成ABCD四組玩遊戲,每組答對一題給一分,答錯一題扣一分,且每題都必須作答,當C組答完六題後,得分為-2分,則C組答對       題、答錯       題。

10.若|A(7)|+|-18|=21,則A___________

11.某水庫的水位以145公尺為基準,若水位為230公尺以上稱為滿水位,須立即洩洪;若水位在95公尺以下則稱為枯水位,須限制供水。2006年五月,此水庫的水位在基準點以下48公尺,颱風過後帶來雨量,水位上升56公尺,隨後乾旱來臨,水位又下降67公尺。請問此時水庫的水位應為        公尺。

12.承上題,為因應水位,此時水庫該如何調節?答:       

13.已知2001年二月15是星期四,則2001年五月20是星期           

 

PART 3:高手競技場

1.12│+│23│+│34│+…+│9899│+│99100│之值為         

2.計算(1977)(856)(23)(144)(890)之值為            

3.數線上AB兩點所對應的數分別為2347,則AB兩點應同時向左移動        個單位長後,所對應的數才會互為相反數。

4.計算(9987654321)+〔9987654320+(-142857)〕=        

5.若│-25a│=0,則(a2)的相反數為         

6.已知a13b=-8,今小玲計算甲、乙、丙、丁四個式子如下:
甲=│
ab               乙=│a│+│b
丙= │
a│-│b          丁=│ab│。
若以”>、=、<”的符號由大到小排列出來,結果應為:                        

 

PART 4:資源補給庫

一、數學燈謎

A:以下各題,每題均猜一個「四字成語」
1.1000
100×100×100                       
2. 9
公寸+1公寸=1公尺        (             )  
3. 86400秒行走1000000公尺   (             )
4. 7÷2(猜一成語)            (             ) 

B:以下各題,每題均猜一個字
1.
人有我大,天沒有我大           (           ) 
2. 99                             (           )     
3. 8999                           (           )   
  
4.
天有地沒有,工有農沒有         (           )

C:以下各題,每題均猜一個數學名詞
1.
討價還價                          (           )    
2.
貿易協定                          (           )   
3.
婚姻法                            (           )  

二、數學趣聞

※ 老 壽星貴庚

在這一節,乾隆紀曉嵐又要過招了,有一天,乾隆在乾清宮,擺了千叟宴,有三千九百多位老人應邀參加宴會,其中某一位客人年齡特別大,到底是幾歲呢?乾隆不明說,而是出了一道對聯的上聯:

「花甲重開,外加三七歲月。」

紀曉嵐在一旁不甘寂寞,也說了這位老翁的歲數,當然他也不明說,而是出了下聯:「古稀雙慶,又多一個春秋。」
想想看,這位老翁的年齡到底是幾歲呢?乾隆紀曉嵐的對聯裡究竟和老翁的年齡有什麼關係呢?

 

三、數字精算師

有個算式是這樣的:  123456798100

想想看,如何不改變數字的排列順序,在等號左邊添加一些運算符號(+、-、×、÷),也可加括號,使這個式子變成正確的!

 

參考資料及網站:

李國賢(民93)。趣味數學國中數學遊戲篇。台北:新潮社。

國立編譯館(民86)。選修數學第一冊。台北:作者。

蔡聰明(民92)。數學拾貝。台北:三民。

蔣聲和陳瑞琛(民91)。趣味算術再闖關。香港:智能教育。

蔣聲和陳瑞琛(民91)。趣味算術考腦筋。香港:智能教育。

http://www.mathland.idv.tw/recreat/puzz.htm

http://www.mathland.idv.tw/

本單元參考解答

PART 1:主題探索窗參考答案:

練習1. (1) 210     (2)90      (3) 99999

練習2. (1)1998  (2)755   (3)525

練習3. 原式=(-11)+(-10)+(-9)+(-8)=-38

練習4.1a=+62 b=-9

2(62)(9)=+(629)=+53

3)|ab|=|(62)(9)|=53

4)|a|+|b|=|+62|+|-9|=62971

(5)a|-|b|=|+62|-|-9|=62953

練習5.1)共飛行5189739(公里)

2)西方11公里處 
因為正向朝右,故往西為負
(+5)+(18)+(+9)+(7)=-11(西方11公里處)

練習6. 23萬元

(12)(8)14(2)723(萬元)

練習7.   1)(-18)-72(18)( 72 )( 90 )

2010000( 1000 )( 1000  )

(3) 4134( 13  )( 9 )

練習8. 1) (-37)-(73)(37)( 73)( 36  )

2 8-(-22)=8( 22  )( 30  )
3  (5)(32)(5)(32  )( 27  )

練習9. (1)原式=25213741

 (2)原式=431517433211
(3)
原式=+(-11)=5+(-11)=-6

練習10. (1) 65公分

從-8到+5,距離5-(-8)=5813單位,共5×1365(公分)

213或-7
50
公分有10單位(50÷510)(單位)
與+310單位,標記為(+3)+10=+13或(+3)-10=-7

練習11.原式=-7(5)21=-7521=-23

 

PART 2學習檢測站參考答案:

一、選擇題

           1.C     2.A   3.C     4.B    5.B   6.D   7.C     8.C    

           9.D    10.A  11.D    12.D   13.A  14.A

詳解:

1.  亦珍:20+(-6)=14

    瑩潔:26+(-12)=14   故一樣高

2.  2540-(-960)=25409603500

3.  (19)278 (58)46=-12 (108)95=-13

    (59)48=-11

4. |-12|=34

5.  (1)68212168。得分

(2) 25+(-16)=-(1625)。 得分

    (3) 12356=-(12356)。未得分

    (4) (38)-(-71)=-3871=-(3871)。得分

8. 甲:49+(-23)=26,但2349=-26

   丁:(-78)-(-27)=-7827=-(7827)

9. 將甲、乙、丙三數都化成小數後再比較

   =9=-(9)=-9乙≒-9.71.

   丙=9.57

   丁=-9=-8.28..故丁>丙>甲>乙。

12.  (A) 1×53×18

     (B) 5×47×234

     (C) 7×642

13. 甲<0,乙>0,丙>0,丁>0

14.  選兩件之和,個位數優先順序4321者可捨位得最低 價
  
∴ 所買的組合如下:
      99
55154150
      66
47113110
      80
24104100
    
150110100360 () 為最低價

二、填充題:

1. 54   2. 4   3. 20   4. 2   5. (1) 13  (2)11 

(3) 22  6. 32   7.107     8. 45      9. 24

10. 104   11. 86 12.限制供水 13. 

詳解:

6. 12+(-15)+9+(-14)=-32

7. 65+□=42

□=4265107

8.   原式=15114145

10.   A(7)|+|-18|=21

A(7)|+1821

A(7)|=3

A(7)3A(7)=-3A104

11.   14548566786

12.   86公尺<95公尺,需限制供水

13.   共經過1331302094(天)

    94÷7133

    437(即星期日)

PART 3:高手競技場參考答案:

1.99     2.3890    3.35     4.142858    5.17  

6.乙=丁>甲=丙

詳解:

1.原式=(21)(32)(43)+……+(9998)(10099)

        99

2.   (1977)(856)(23)(144)(890)

[(1977) (23) ][(856) (144) ](890)

(2000)(1000)(890)

=-3890

3. 47232424÷212471235

4.原式=[(9987654321)+〔9987654320〕+(-142857

=-1+(-142857)=-142858

5. 25a0 a=-25

a42=-254217,其相反數為-17

 6. 甲=│ab│=│13(8)│=5 

    乙=│a│+│b│=│13│+│-8│=21 

     丙= │a│-│b│=│13│-│-8│=5

     丁=│ab│=│13-(-8)│=21

     乙=丁>甲=丙

PART 4:資源補給庫參考答案:

一、數學燈謎

A1.千方百計   2. 得寸進尺  3.一日千里  4.不三不四

B1.  2.   3.  4.

詳解:

1.「人」加上一就變成「大」,天少掉「一」也變成「大」。

2. 991001,故百少1為白。

3. 899990001,九千減一變成仇。

4.天字裏有兩橫,地則沒有;工字裏有兩橫,農則沒有;故為二。

C1.    2.交換律   3.結合律

二、數學趣聞

※老壽星貴庚

老翁年齡是141歲,為什麼呢?˧܋以下說明:

    上聯:「花甲重開,外加三七歲月。」

花甲就是甲子,一甲子是60年,花甲重開就是過了2個甲子,即:

2×60120,外加三七歲月,3×721,所以12021141

    下聯:「古稀雙慶,又多一個春秋。」

古稀即70歲,古稀雙慶即140歲,又多一個春秋(即多1年),所以1401141

     你想出來了嗎?

三、數字精算師

解法並非唯一:

解法一:12÷3456798100

解法二:123456798100

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