第一冊 主題一 數與數線

1-4整數的乘除與四則運算
PART 1:主題探索窗


探索:整數的乘法

兩個整數相乘的運算規則ab為兩個任意的正整數,則

(-a)×(-b)=a×b,即負數乘以負數得正數

(+a)×(-b)=-(a×b),即正數乘以負數得負數

(-a)×(+b)=-(a×b),即負數乘以正數得負數

整數乘法的運算規律:

1.乘法交換律ab為任意整數,則a×bb×a

2.乘法結合律:abc為任意整數,(a×b)×ca×(b×c

3.分配律abc為任意整數

a×(bc)=a×ba×c或(bc)×ab×ac×a

a×(bc)=a×ba×c或(bc)×ab×ac×a

兩個以上整數相乘的運算規則運算結果為積的絕對值,但要在積的前面加上性質符號;在連乘的算式中,若有偶數負號,就冠以正號;若有奇數負號,就冠以負號。

乘以任何一個不為零的數,其結果為0

範例1

計算下列各式:

112×(-9

2)(-25)×8

36×(-6

4)(-817)×0

解:(1)原式=-(12×9)=-108
2)原式=-(25×8)=-200
3)原式=-(6×6)=-36
4)原式=0


練習1

完成下列的空格:

1)(-10)×8=-(10×   )=(   )

236×(-14)=-(36×   )=(   )

3)(-27)×11=-(27×   )=(   )

解:

範例2

計算下列各式:

1)(-8)×(-12

2)(-14)×(-5

3)(-38)×(-13

解:(1)原式=8×1296
2)原式=14×570
3)原式=38×13494

練習2

計算下列各式:

1)(-17)×(-6

2)(-23)×(-12

3)(-7)×(-112

解:

範例3

1)比較兩式的大小關係:(-15)×77×(-15

2)比較兩式的大小關係:(-19)×(-4)與(-4)×(-19

解:(1)利用乘法交換律得(-15)×77×(-15)=-105

2)利用乘法交換律得(-19)×(-4)=(-4)×(-19
76

練習3

1)比較兩式的大小關係:998×12341234×998

2)比較兩式的大小關係:(-29)×5050×(-29

解:

範例4

比較兩式的大小關係:

[(-5)×8]×(-9)與(-5)×[8×(-9]

解:

[(-5)×8]×(-9)=[5×8]×(-9
=+[5×8)×9]

 

(-5)×[8×(-9]=(-5)×[-(8×9]
=+[5×(8×9]

 

[(-5)×8]×(-9)=(-5)×[8×(-9]

練習4

比較兩式的大小關係:

[(-12)×(-14]×(-3)與(-12)×[(-14)×(-3]

解:

 

範例5

計算下列各式的值:

1)(-5)×(-4)×(-7

2)(-1)×(-8)×(-6)×(-10

3)(-10)×(-9)×(-8)×(-5)×(-2

解:(1)原式=-(5×4×7)=-140
2)原式=+(1×8×6×10)=480
3)原式=-(10×9×8×5×2)=-7200

答:(1)-140 (2480 (3)-7200

練習5

計算下列各式的值:

1)(-5)×(-4)×(-7

2)(-1)×(-8)×(-6)×(-10

3)(-10)×(-9)×(-8)×(-5)×(-2

解:

 

範例6

利用分配律,計算下列各式的值:

173×(-11)+27×(-11

26×(-198)-6×(-98

解:(1)原式=(7327)×(-11)=100×(-11)=-1100
2)原式=6×[(-198)-(-98]6×(-100

=-600

答:(1)-1100 (2)-600

練習6

利用分配律,計算下列各式的值:

1)(-89)×79+(-89)×21

22007×(-47)-7×(-47

解:

 

範例7

利用分配律,計算108×(-285)的值:

解:原式=(1008)×(-285

100×(-285)+8×(-285

=-28500+(-2280)=-30780

答:-30780

練習7

利用分配律,計算(-299)×1001之值:

解:

探索二:整數的除法

 

兩個整數相除的運算規則

兩異號數相除:其商為兩數的絕對值相除,冠以負號。

ab為兩個任意的正整數,則:

(a)÷b=-(a÷b); (a)÷(b)=-(a÷b)

兩同號數相除:其商為兩數的絕對值相除,冠以正號。

ab為兩個任意的正整數,則(a)÷(b)a÷b

倒數若甲數×乙數1,則甲數與乙數互為倒數。

除法的運算法則:對於任意兩數ab(不論為整數或分數),其中b0,可得a÷ba×(b的倒數)

除以任何一個不為零的數,其結果為0

整數乘(或除)性質符號的變化:

1.正整數乘(或除)以正整數,結果為正數:
(+)÷(+)=(+)

口訣:正得正

2.負整數乘(或除)以正整數,結果為負數:
(-)÷(+)=(-)

口訣:負正得

3.正整數乘(或除)以負整數,結果為負數:
(+)÷(-)=(-)

口訣:正負得負

4.負整數乘(或除)以負整數,結果為正數:
(-)÷(-)=(+)

口訣:負負得負


範例8

計算下列各式:

1)(-56)÷8

2115÷(-23

3120÷(-40

4 0÷(-38

解:(1)-7 (2)-5 (3)-3 (40

練習8

計算下列各式:

1)(-156)÷12

2280÷(-35

3120÷(-15

40÷(-47

解:

範例9

計算下列各式:

1)(-720)÷(-9
2)(-200)÷(-8
3)(-441)÷(-21

解:(180 (225 (321

練習9

計算下列各式:

1)(-372)÷(-31

2)(-165)÷(-11

3)(-289)÷(-17

解:

範例10

計算下列各式:

1)(-48)÷6÷(-2

2)(-1200)÷(-15)÷(-5

解:(14 (2)-16

練習10

計算下列各式:

1240÷(-8)÷(-15

2)(-2475)÷15÷(-33

解:

探索:整數的四則運算

四則運算規則:

1.算式中若只有加減或乘除運算時,通常是由左而右計算。

2.一個算式中,若混合加、減、乘、除四則運算時:

1)要先做乘除再做加減

2)有括號時:先做括號內的運算,先算小括號(,再算中括號[ ],最後再算大括號{ }

3)算式中若含有指數,且混合加、減、乘、除四則運算,則先算次方、再來是乘(或除),最後才是加(或減)。

四則運算口訣:先乘除後加減、括號內的式子先計算。


範例11

計算下列各式之值:

1)(-80)÷(-16)+[(-3)-(-4]

2)(-32)÷4[(-21)-(+5]÷13

解:(1)原式=516

2)原式=(-8)-(-26)÷13=(-8)-(-2
=(-8)+2=-6

練習11

計算下列各式之值:

1)(-8)×[235×(-6]9÷(-3

2)(-60)÷[(-23)-(-8]-(-7)×(-4

解:

 

範例12

計算38÷(-19)+(-7)×3|(-9)×(-1)+(-11)|÷2之值

解:原式=(-2)+(-21)-2÷2
=(-23)-1=-24

練習12

計算(1318)×(-7)+|(-12)×4-(-57)|÷(-3)-6×(-9)之值

解:

範例13

一艘潛水艇在海平面下方172公尺處發射一枚魚雷,此魚雷以每秒14公尺的速率上升,經過12秒後爆炸,則爆炸處位於海平面的上方或下方幾公尺處?

解:

共上升14×12168(公尺)

(-172)+168=-4

答:海平面下方4公尺

練習13

榮恩妙麗在南北向的道路上,若從原點出發,向北步記為+1,向南步記為-1,且兩人每一步的距離均為35公分,則:

1)若兩人均由原點出發,榮恩向北走110步,妙麗南走70步,請問兩人相距多少公尺?

2假設妙麗每秒4公尺榮恩每秒走5公尺妙麗由-13走到+19的位置,榮恩需由+12走到-23的位置,請問誰會先到達目的地?

解:

PART 2:學習檢測站

( )1.將以下四個算式的結果由大到小排列出來,則哪一個選項是正確的?

甲:(-50)÷10      乙:(280)÷(-70

1998÷(-1999)  丁:(-2006)÷2005

A) 甲>乙>丙>丁(B)丁>丙>乙>甲

C)丙>丁>甲>乙 (D) 丙>丁>乙>甲

( )2.觀察下列四個式子,請問有幾個是正確的?
甲:381254738+(12547
乙:38238938-(2389
:(-34)×12×(-67)=34×12×67
丁:(-120)÷20÷4=(-120)÷(20÷4
A1 (B2 (C3 (D4

( )3.以下何者為-9的倒數?

9 ( )- )-9

( )4.若甲、乙、丙三數均不為0,且甲×(-2)=乙×(-3)=丙×(-4),則甲、乙、丙三數何者最大=?

)甲 ()乙 ()丙 ()甲或丙

( )5.大雄宜靜麗香三人同時進入夢幻職籃隊,三人年薪均相同。大雄第一年表現良好,第二年加薪10%,後來因受傷表現欠佳,於是第三年減薪10%宜靜表現平平,年薪一直不變。而麗香第一年表現不佳,第二年減薪5%,後來發奮圖強表現良好,第三年加薪5%,請問第三年的年薪誰最少?

大雄 (宜靜 (麗香 ()三人都一樣

( )6.近來益智玩具魔術方塊熱賣,各地區販賣同款魔術方塊的價格如下表,請問哪一個地區最貴?

地區

售價(當地貨幣/

備註

台灣

新台幣250

 

泰國

200泰銖

1泰銖=1.02元新台幣

加拿大

9加拿大幣

1加拿大幣=30.8元新台幣

日本

980日圓

1日圓=0.28元新台幣

台灣 (泰國 (加拿大 (日本

( )7.如圖,莉軒長方形分成六塊大小相同的 正方形,若每塊正方形的面積均為100平方公分,則黃色區域面積為多少平方公分?
A350 (B375 (C395 (D405 平方公分

( )8.快速宅急便公司郵寄小型包裹,每件不超過3公斤,郵費一律100元,超過3公斤後每公斤加收15元,不足一公斤則以一公斤計算,今郵寄11876公克重的東西,需郵資多少元?
A210 (B235 (C255 (D285

 

日期

收入

支出

結餘

至三月底

 

 

5260

95.4.1

 

670

 

95.4.8

840

 

 

95.4.10

360

490

 

95.4.19

210

 

 

95.4.25

430

 

 

95.4.31

760

890

 

( )9.右表允恩零用錢的收入與支出紀錄表,請問至430止的結餘比三月底的結餘增加或減少多少元?
A)減少350
B)減少260
C)增加450
D)增加550

 

( )10.園遊會設置跳蚤市場攤位,宜民班上將各類物品銷售的數量及單價整理如下。請問總銷售金額為多少元?

項目

史努比卡片

原子筆

過期雜誌

小叮噹磁鐵

數量

67

98

36

103

單價

5/

7/

49/

8/

A2895 (B2450 (C3359 (D3609 元。

( )11.計算2008×1442008×672008×23800之值為何?
A209800 (B200800 (C200000 (D198800

養生水 40/公升(平日)

?元/公升(特價)
水桶  15/(容量6公升

( )12.宜蘭某區養生水的售價,每逢假日以特價出售,如右圖。若假日到此地區遊玩,用販賣的水桶裝36公升的養生水回家飲用,共花了846元,則養生水的特價每公升為多少元?

A32 (B28 (C21 (D18 元

 

二、填充題:

1.計算(-3)×(-7)-4×6     

2.計算[(-6)-(-4]×[(-3)+(-5]8     

3.一級棒麵包店舉辦母親節特惠活動,凡購買5個波蘿麵包和4個蛋塔,僅需105元,今到此麵包店買15個波蘿麵包和12個蛋塔,付1000元鈔票一張,可找回     元。

4.計算(-1999)×17611999×2391999×1000     

5.冠盈寫出如右邊的式子:52311613,在中依序要填入中的     兩個運算符號才可使等號成立。

6.計算(-5)×5[(-126)÷6×3]      

7.從-9、-8、-7、-6123610個數當中任取三個不同的數做乘積,則最小的乘積為     

8.|x9||y8|0,求xy     

9.一艘潛水艇在海平面下方235公尺處發射一枚魚雷,此魚雷以每秒24公尺的速率上升,經過8.5秒後爆炸,則爆炸處位於海平面的
     方(填上或下)     公尺處。

10.至靈以定價的六折買一個衣櫃,花了3600元,而志中在同一家店也買了同一款衣櫃,老闆卻以定價的七折賣給他,請問志中應付
     元。

11.計算995×5[43-(-2)×(-8]17之值為     

12.瑩潔以定價的八折買一雙球鞋,花了2560元,若照定價的七五折,應付     元。

13.哲安在東西向的道路上,若從原點出發,向東步記為+1,向西步記為-1,且兩人每一步的距離均為35公分
若兩人均由原點出發,假設每秒走3.5公尺,哲安每秒5公尺;若由-6到+14哲安7到-23,則     會先到達目的地;當兩人都抵達目的地時,相距     公尺。

14.甲、乙兩店賣綠豆沙牛奶,每杯售價均為30元。已知:
甲店的促銷方式是:每買2杯,第1杯原價,第2杯半價。
乙店的促銷方式是:每買3杯,第12杯原價,第3杯免費。
銘儀在促銷期間買12杯綠豆沙牛奶,若全部在甲店買需花
      元;若全部在乙店買需花     元;
若在甲、乙兩店各買6杯,則需花     元。

15.計算26-〔15.2-(-249)×0.6×(-0.5)+17.9之值為     

 

PART 3:高手競技場

( )1.泰富豪餐廳促銷「檸檬魚」,提出甲、乙、丙、丁四個方案:
甲案:按原價打八折
乙案:買五送
丙案:增加百分之二十的重量,但價格不變
丁案:增加百分之十的重量,再打九折
請問哪一個方案對消費者來說最划算
A)甲案 (B)乙案 (C)丙案 (D)丁案 。

( )2.繡雲想買蓮霧,分別到甲、乙、丙、丁四家水果店比價,各店的蓮霧價格如表所示。請問哪一家店較便宜

 

重量(克)

450

400

1000

750

價格

75

60

140

115

 

A)甲

B)乙

C)丙

D)丁

( )3.以下是四位同學對絕對值的看法,請問有幾位同學的看法是正確的?:

甲:mm

乙:若ab,則a×ab×b

:若a×b0,則a×ba×b

丁:若a×b0,且ba,則ab

A4位 (B3位 (C2位 (D1位 。

( )4.麗雲以每公斤30元的價格,買進70公斤的葡萄,其中4公斤壞了不賣,剩下的選出25公斤,以每公斤75元的價格賣出,其餘的再以每公斤48元賣出,請問麗雲賣完後會賺或賠多少元?

A)賠420元 (B)賺420元 
C)賺1350元 (D)賺1743元。

 5.a11b6c+(-10,則abc的大小關係何者正確?
Abca (Bacb 
Cabc (Dcab

( )6.永靖定義新的運算符號★,計算方式為:
ab3×a×bab」,如
4
★(-2)=3×4×(-2)-4-(-2

=-246=-30,則(-9)★6=?

A)-75 (B)-98 (C)-135 (D)-177 。

 7.小英寫了一本書,她幫此書加上頁碼,從1開始,共使用了3277個數字,請問這本書的頁數是幾頁?
1093 (B1094 (C1095 (D1096 。

 

PART 4資源補給庫

一、數學燈謎

A以下各題,每題均猜一個「四字成語」

1. 1×1=1

2. 10004=100003

3. 40÷6

B以下各題,每題均猜一個

1.上在下,下在上,卡在中間

2. 1×1

3.

4.左邊加一是一千,右邊減一是一千

C以下各題,每題均猜一個數學名詞

1.負荊請罪

2.坐船須知

3.剃頭

4.七六五四三二一

 

 

(      )

(      )

(      )

 

(      )

(      )

(      )

(      )

 

(      )

(      )

(      )

(      )

二、數學趣聞

百鳥歸巢圖

相傳朝有一位神童名倫文敘,出身寒微卻身懷文才,是廣東第一位狀元郎。在他十三歲時,有位鄉紳很欣賞他的才華,請他為蘇東坡真跡名畫「百鳥歸巢圖」題詩。

倫文敘平時就愛蘇東坡的詩詞筆畫,揮毫即題書

「天生一隻又一隻,三四五六七八隻,

鳳凰何少鳥何多,啄盡人間千萬石」。

你知道在這首詩裡,已將數學計數蘊藏在內,文中雖沒有百字的踪影,但恰好有一百隻鳥喔,想想看為什麼呢?

三、數字精算師

1.使用連續的正整數(18)填入空格內,使得各直行和各橫列的運算是正確的。

 

 

 

 

2.將百鳥歸巢圖中出現的數字寫在同一列,並在數字間加上適當的運算符號,使11345678變為100

 

 

參考資料及網站:

李國賢(民93)。趣味數學國中數學遊戲篇。台北:新潮社。

徐立行(民92)。沒有數字的數學。台北:天下。

高淑珍譯(民92)。圖解數學基礎入門。台北:茂。

蔣聲和陳瑞琛(民91)。趣味算術考腦筋。香港:智能教育。

蔣聲和陳瑞琛(民91)。趣味算術再闖關。香港:智能教育。

http://www.mathland.idv.tw/recreat/puzz.htm

http://www.mathland.idv.tw/

 

本單元參考解答

PART 1:主題探索窗參考答案:

練習1.1)(-10)×8=-(10×8)=(80
236×(-14)=-(36×14)=(504
3)(-27)×11=-(27×11)=(297

練習2.1102 (2276 (3784

練習3.1)利用乘法交換律998×12341234×998
2)利用乘法交換律得(-29)×5050×(-29)=-(29×50

練習4.[(-12)×(-14]×(-3)=(-12)×[(-14)×(-3]

練習5.1)原式=-(5×4×7)=-140
2)原式=+(1×8×6×10)=480
3)原式=-(10×9×8×5×2)=-7200

練習6.1)原式=(-89)×(7921)=(-89)×100=-8900
2)原式=(-47)×(20077)=(-47)×2000=-94000

練習7.原式=(-299)×(10001

=(-299)×(1000)+(-299)×1

=-299000+(-299)=-299299

練習8.1)-13 (2)-8 (3)-8 (40

練習9.112 (215 (317

練習10.12 (25

練習11.1)原式=(-8)×(-7)+(-3)=56+(-3)=53
2)原式=(-60)÷(-15)-28428=-24

練習12.原式=(-5)×(-7)+9÷(-3)-(-54

35+(-3)+5486

練習13.1)(+110)-(-70)=11070180
35
×1806300(公分)=63公尺

2妙麗19-(-13)=32(步),為35×32(公分)
榮恩:走12-(-23)=35(步),為35×35(公分)
妙麗需花(秒)
榮恩需花(秒)
榮恩先到達

PART 2:學習檢測站參考答案:

一、選擇題

1.D  2.B  3.C  4.D  5.A  6.C  
7.B
  8.B  9.D  10.D  11.C  12.C  

詳解:

1.甲:-5 乙:-4 :->-1 丁:-<-1

2.甲:加法交換律
乙:38238938-(2389
:乘法交換律
丁:除法無結合律

4. 若甲、乙、丙、丁為負數

設甲×(-2)=乙×(-3)=丙×(-4)=12

則甲=-6,乙=-4,丙=-3故丙最大

若甲、乙、丙、丁為正數:
設甲×(-2)=乙×(-3)=丙×(-4)=-12
則甲=6,乙=4,丙=3故甲最大
所以甲和丙皆有可能

5. 大雄1×(10.1)×(10.1)=0.99
宜靜:1
麗香:1×(10.05)×(10.05)=0.9975

所以大雄最低

6 . 台灣:250
泰國:200×1.02204
加拿大:30.8×9277.2(貴)
日本:980×0.28274.4

7. 100×3100÷2100÷43005025375

8. 11876公克=11.876公斤12公斤
100
15×(123)=100135235

9.收入=840+360+2104307602600
支出=6704908902050
故增加26002050550

10.5×677×9849×368×1033609

11.原式=2008×(1446723)-800200800800200000

12.水桶容量一個是6公升,因此36公升的水,需要6個水桶,得花90元。水的價錢共花了84690756元,故每公升為756÷3621元。

 

二、填充題:

1.3
2.8
3.685
4.
1999000
5.
×、-
6.38

7.540

8.17

9.下、31
10.4200
11.118
12.2400
13.
12.95
14.270
240255
15.43

詳解:

1.原式=2124=-3

2.原式=(-2)×(-8)-81688

3.5個波蘿麵包和4個蛋塔,需105元,故15個波蘿麵包和12個蛋塔,需105×3315
1000315685(元)

4.原式=(-1999)×(17612391000)=(-1999)×1000
=-1999000

5.523×11613

6.原式=-25[(-126)÷6×3]
=-25-(-63)=-256338

7.最小乘積為負,故可兩正負或三負
(-9)×10×6=-540
(-9)×(-8)×(-7)=-504
故解為540

8.x9y=-8xy9-(-8)=17

9.共上升24×8.5204(公尺)
235204=-31,距海平面下方31公尺處

10.3600÷0.66000
6000
×0.74200

11.原式=995×5[43-(-2)×(-8]17
9925[4316]17
742717118

12.2560÷0.8×0.752400

13.1:由-6到+14共走14-(-6)=20步,所以20×35700(公分)=7公尺;需7÷3.52(秒)

哲安:由+7到-23共走7-(-23)=30(步)35×301050(公分)=10.5公尺;需10.5÷52.1(秒)

所以先到。

214-(-23)=37

37×35÷10012.95(公尺)

 

14.甲店:12÷2 (杯)
30
×9270,甲店買需花270

乙店:12÷34(免費杯數 ) ∴1248(杯),30×8240,乙店買需花240

 

兩店各六杯:甲花30×4.5135

乙花30×4120, 共花255

 

15.原式=26-〔15.2-(-249)×0.6×(-0.5)+17.9

26-〔15.2-(-15)×0.6×(-0.5)+17.9

26-〔15.29×(-0.5)+17.9

2624.2×(-0.5)+17.9

=(-50.2)×(-0.5)+17.9

25.117.943

 

PART 3:高手競技場參考答案:

1.A  2.C  3.C  4.D  5.B  6.D  7.D

詳解:

 

2.甲:450÷7566公克1元)
乙:400÷606.66.6公克1元)
1000÷1407.17.1公克1元)
丁:750÷1156.56.5公克1元)

3.乙、丙為正確
甲:若m0,則mm,若m0,則m=-m
丁:當a2b=-11,則ab

4.成本:30×702100

售價:75×2548×(70425
187519683843

共賺:384321001743

5.a11b=-6c1,故a>

6.(-9)★63×(-9)×6(-9)-6=-177

7.個位數:1×99

十位數:2×90180

百位數:3×9002700

327791802700388

388÷497

故頁數為:1000~1096

PART 4:資源補給庫參考答案:

一、數學燈謎

A1.一成不變 2.千變萬化 3.陸續不斷

B1.    2.二    3.   4.

詳解:

1.在下部的是一橫,下在上部的也是一橫,卡字中間的還是一橫,故為一

4.可以還原法求此字。”千字少剩下一撇一直,即單人旁“千”字多,變成了。組合後就變成「任」。

C1.求和 2.乘法 3.除法 4.倒數

二、數學趣聞

※百鳥歸巢圖

解:天生一隻又一隻:112
三四五六七八隻:3×4=125×6=307×8=56

共有2+12+30+56=100,是否很妙呢

三、數字精算師

1.

 

 

2.

1×13×45×67×8100

 

number33a.gif (1727 個位元組)

 

 

 

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