主題三 分數的運算

一、因數與倍數

重點

因數:乙數整除甲數時,則乙數是甲數的因數。

質數:一個大於1的正整數除了1和它本身外,不再含有其他的因數,像這一類的正整數,我們稱為質數。

合數:一個大於1的正整數除了1和它本身外,還含有其他的因數,像這一類的正整數,我們稱為合數。

因數分解:將一個正整數寫成兩個或兩個以上比它小的正數的乘績,就稱為將此正整數因數分解。

質因數:如果一個正整數的因數是一個質數,我們就稱這個因數是這個正整數的質因數。

質因數分解:將一個正整數表成兩個或兩個以上質數的乘績時就稱為質因數分解。

標準分解式:一個正整數經質因數分解後將較小的質因數寫在前面較大的質因數寫在後面,遇有相同的質因數連乘時,就以指數計法來表示。


PART 1:主題探索窗

探索一:因數與倍數

ab兩個正數,若a可以被b整除,那麼a就是b的倍數,ba的因數。

範例1

13是否為91的因數?

解:91÷13=7

9113整除

1391的因數

練習1

1397的因數?

 

範例2

91是否為13的倍數?

解:91÷13=7

9113整除,9113的倍數

練習2

97是否為13的倍數?

 

範例3

寫出96的所有因數

解:96=1×96=2×48=3×32=4×24=6×16=8×12

96的所有因數1,2,3,4,6.8,12,16,24,32,48,96

練習3

寫出42的所有因數

 

範例4

在下列各數中找出分別含有235因數的數:

123234345456567

解:123÷3=41

234÷2=117

234÷3=78

345÷5=69

345÷3=115

456÷2=228

456÷3=152

567÷3=189

含有2因數的數:234,456,

含有3因數的數:123, 234345,456,567

含有5因數的數:345

 

練習4

在下列各數中找出分別含有235因數的數:

321432543654765

 

範例5

判斷下列各數是126的因數?

1,2,3,5,7

解:126=1×126=2×63=3×42=7×18

得知1,2,3,7126的因數

126不能被5整除

練習5

判斷下列各數是154的因數?

1,2,3,5,7,11

 

探索二:倍數判別法

2的倍數判別法

21,2,3,4,5,6,7,8,92,4,6,8,10,12,14,16,18,他們的個位數組合是0,2,4,6,8,因此2的倍數之個位數組合是0,2,4,6,8

5的倍數判別法

51,2,3,4,5,6,7,8,95,10,15,20,25,30,35,40,45,他們的個位數組合是0,5

 

範例6

下列數字中,哪些是2的倍數?哪些是5的倍數?

23,34,45,56,67,78,89

解:34,56,78個位數數字是偶數,所以是2的倍數

45個位數數字是5,所以是5的倍數

 

練習6

下列數字中,哪些是2的倍數?哪些是5的倍數?

21,32,43,54,65,76

 

範例7

a數是四位數387□,若a 2的倍數,也是5的倍數,則□=

解:a 2的倍數,則□=0,2,4,6,8

a 5的倍數,則□=0,5

a 2的倍數,也是5的倍數,則□=0

練習7

a數是四位數387□,若a不是 2的倍數,是5的倍數,則□=

 

判別4的倍數

100÷4=2501004的倍數。因此檢驗100之內二位數即可。

範例8

判別123456是不是4的倍數?

解:123456末二位數56

56÷4=14

1234564的倍數

練習8

判別123458是不是4的倍數?

 

範例9

判別123457是不是4的倍數?

解:123457的個位數7`不是偶數不是2的倍數,也不是4的倍數。

練習9

判別712345是不是4的倍數?

 

 

範例10

5位數23464的倍數,那麼□中可以是哪些數字?

解:4×4=164×9=364×14=564×19=764×24=96

=159

練習10

5位數23424的倍數,那麼□中可以是哪些數字?

 

判別9的倍數

10÷9=11100÷9=1111000÷9=1111

因此123=1×100+2×10+3=1×(11×9+1)+2×(9×1+1)+3=(11×9+2×9×1) +1+2+3一個整數的各個數字和是檢驗9的倍數關鍵。

範例11

說明12345不是9的倍數。

解:12345=15

15÷9=1..6

12345不是9的倍數。

練習11

說明123456不是9的倍數。

 

範例12

5位數23429的倍數,那麼□中可以是哪些數字?

解:2+3+4++2=11+

11+=18

=7

練習12

5位數23469的倍數,那麼□中可以是哪些數字?

 

 

判別3的倍數

10÷3=31100÷3=3311000÷3=3331

因此

123=1×100+2×10+3

=1×(33×3+1)+2×(3×3+1)+3

=(33×3+2×3×3×1) +1+2+3

一個整數的各個數字和是檢驗3的倍數關鍵。

範例13

1004007003除餘多少?

解:100÷3=331

400÷3=133..1

700÷3=2331

答:111

練習13

2005008003除餘幾?

 

範例14

137是不是3的倍數?

1137=100+30+7

1003除餘1

303除餘3

1+3+7=11

11÷3=2   2

137不是3的倍數

2137

- 36

101

1+1=2

137不是3的倍數

練習14

1234567是不是3的倍數?

 

範例15

5位數23423的倍數,那麼□中可以是哪些數字?

解:2+3+4++2=11+

11+=1211+=1511+=18

=147

練習15

5位數23463的倍數,那麼□中可以是哪些數字?

 

判別11的倍數

100÷11=99110000÷11=99991

1234567=1×1000000+23×10000+45×100+67

=1×(999999+1)+23×(9999+1)+45×(99+1)+67

=1×999999+23×9999+45×99+1+23+45+67

=11(90909+23×909+45×9) +1+23+45+67

檢查1+23+45+67是否為11的倍數

方法1

1+23+45+67=24+112=136

136÷11=124

1234567不是11的倍數

方法2

1234567

-224466

1010101

1+1+1+1=4

1234567不是11的倍數

範例16

5位數234211的倍數,那麼□中可以是哪些數字?

解:2+34+□×10+2=36+□×10

36+□×10=66

=3

練習16

5位數234611的倍數,那麼□中可以是哪些數字?

 

判別7的倍數

100÷7=142

10000÷7=14284

1000000÷7=1428571

1234567=1×1000000+23×10000+45×100+67

=1×(7×142857+1)+23×(7×1428+4)+45×(7×14+2)+67

=1×(7×142857+23×7×1428+45×(7×14)+1×1+23×4+45×2+67

檢查1×1+23×4+45×2+67是否為7的倍數

 

方法1

1×1+23×4+45×2+67=1+92+90+67=250

250÷7=355

1234567不是7的倍數

 

方法2

1234567

-214263

1020304

1+2×4+3×2+4

=1+8+6+4

=19

19÷7=2..5

1234567不是7的倍數

範例17

5位數23427的倍數,那麼□中可以是哪些數字?

解:2×4+34×2+□×10+2=8+68+□×10+2=78+□×10=77+1+□×10

1+□×10=21

=2

練習17

5位數23467的倍數,那麼□中可以是哪些數字?

 

探索三:認識質數

質數:一個大於1的正整數除了1和它本身外,不再含有其他的因數,像這一類的正整數,我們稱為質數。

範例18

拿出正方形方塊數個,拼成長方形。

1)若拿出七塊,它的排法有多少?

2)若拿出六塊,它的排法有多少?

(1) 7=1×7=7×1

兩種排法,1×7的轉個90度,就成了7×1的排法。視為同一排法。

(2) 6=2×3=3×2=1×6=6×1

四種排法,1×66×1視為同一排法。2×33×2視為同一排法。

二種相異排法。

 

1為組合單位,有6個,61的倍數,16的因數。

2為組合單位,有3個,62的倍數,26的因數。

7有一種排法為質數,6有二種排法為合數。

練習18

拿出正方形方塊數個,拼成長方形。

1)若拿出5塊,它的排法有多少?

2)若拿出36塊,它的排法有多少?

 

質數的產生

1234567891011121314151617181920,…

1不是質數,也不是合數。

2為最小質數

2的倍數為2468101214,….

24之間為33是質數

3的倍數為3691215,….

5夾在前面的質數的倍數的縫隙,5是質數。

後繼的質數,夾在前面的質數的倍數的縫隙。711、…..

 

範例19

判別31是質數?

解:以31以下的數235,…,30去除31,不能除盡。

31=31×1

31是質數

練習19

判別91是質數?

 

探索四:質因數分解

如果一個正整數的因數是質數,我們稱此因數為這個正整數的質因數。

範例20

寫出42的所有因數,並將42的質因數圈起來

解:42=1×42=2×21=3×14=6×7

237是質數,23742的質因數

答:1,2,3,6,7,14,21,42

練習20

寫出91的所有因數,並將91的質因數圈起來

 

將某數用質因數的乘積表達

範例21

用樹狀圖分解84的質因數

解:

 

 

 

 

24=7×2×2×324=3×2×2×724=2×2×3×7

練習21

用樹狀圖分解96的質因數

 

探索五:短除法

範例22

用短除法分解42的質因數。

解:以235試除

2

42

 

3

21

<-42÷2

 

7

<-21÷3

42=2×3×7

練習22

用短除法分解36的質因數。

 

探索六:標準分解式

標準分解式:一個正整數經質因數分解後將較小的質因數寫在前面較大的質因數寫在後面,遇有相同的質因數連乘時,就以指數計法來表示。

 

 

 

範例23

36做質因數分解,再寫出它的標準分解式

解:

2

36

 

2

18

<-36÷2

3

9

<-18÷2

 

3

<-9÷3

36=2×2×3×3=22×33

練習23

136做質因數分解,再寫出它的標準分解式

 

PART 2:學習檢測站

1.791的因數?

 

2.寫出8的所有因數

 

3.寫出48的所有因數

 

4.寫出98的所有因數

       

5.131是質數?

 

6.187是質數?

 

7.請找出兩個質數,使它們的和等於下列偶數。

30

34

54

8.5135的質因數嗎?

 

 

9.8184的質因數嗎?

 

 

10.11234的質因數嗎?

 

 

11.17391的質因數嗎?

 

 

12.寫出42的所有因數,並將42的質因數圈起來

 

 

13.將下列各數寫成質因數分解

90

72

81

60

14.將下列各數質因數分解,並以標準分解式表示

90

72

81

60

 

15.在下列各數中找出分別含有235因數的數:

123234345456567

 

16.將下列各數作質因數分解

(1)56

(2)120

(3)143

(4)420

(5)575

(6)428571

 

 

一、是非題:(對打○,錯打×)

(  )1.因為30.5×6,所以63的因數

(  )2.如右分解,則a2×3×5

 

(  )3.因為20可以分解成1×202×104×5的情形,每次都可以找到兩個因數,所以可以說,任何數的因數個數都是偶數個。

(  )4.A=2×3×4×5,則A的質因數有4個。

( )5.在所有的正整數中,不是合數(例如468)就是質數(例如5711)

二、選擇題:

(  )1.下列何者為最簡分數?
A1BCD

(  )2.下列敘述何者正確?
A516171皆為質數B191的質因數
C2是偶數,所以2不是質數
D67的正因數只有167,所以67為質數。 

(  )3.231被一數整除後,所得的商數不可能為下列何數?
(A) 231
B77 C14 D7

(  )4.下列哪一個數的質因數不包含7
=23×72,乙=27×32,丙=20×21,丁=52×91
(A)
(B) (C) (D)丁 。                       

(  )5.下列那一個數不是的因數?
AB 
CD 。           

(  )6.有一個四位數 495 3的倍數;
同時也是7的倍數,則□=
A0 B 2 C 5D 8 

(  )7.請問215×7×517 乘開的結果是幾位數?
A15B16C17 D18 

(  )8.P=23´32´52´7´132,則下列哪一個選項不是P的因數?
A23
´3´7B52´7C23´72´13D2´5´7´13

三、 填充題:

1.寫出介於5060之間的所有質數__________________

2.化為最簡分數為______

3.若四位數516,同時是311的倍數,則□=______

4.585的所有相異質因數和為______

5.3240質因數分解,並以標準分解式表示,3240        

6.a為正整數,則a的部份正因數有131122,求a的最小值為          

7.50拆成兩個質數的和,最多有      種分法,例如:163135112種分法(且313133屬於同一種方法)。

8.小萱拿了36個大小相同的正方體積木玩分堆的遊戲,每堆積木的個數都一樣,不能剩下;而且每堆至少2個,但不能多於10個,則她有        種分堆方法。

9.請問200493 200492_______倍。

10.a為正整數,且a的正因數有1,4,7,14a的最小值 ______

11.之間,分母是30而分子是整數的最簡分數為        

12.A=,則A的相異質因數和=     

13.已知289減去一個數a之後可以被5整除,a為介於120中的所有整數,請問符合此條件的a共有      個。

計算題:

1.有一個四位數7219的倍數,那麼
(1)
求□的值
(2)
(1)結果,求三位數70的標準分解式

2.720質因數分解,並以標準分解式表示。

3.1092寫成標準分解式。並寫出所有相異質因數。

4.A=40×41×42×43×44×…×59×60,問

(1)A的質因數有幾個?

(2)A的末尾有幾個連續的零?

 

PART 3:高手競技場

判別31是質數?

解:31以下的數235,…,30去除31,不能除盡。

31=31×1

31是質數

討論:31=a×b

ab

a×bb×b

31b×b

3136

31以下的數2345去除31

再精簡,取質數,235去除31

範例1

判別91是質數?

解:91<100

91以下的數2357去除91

91÷7=13

91不是質數

練習1

判別191是質數?

 

PART 4:資源補給庫

特殊質數

1.孿生質數:(p,p+2)p質數,p+2也是質數。(35),(57),(1113)等。

2.梅森質數:梅森數是指形如2n 1的數,記為Mn;如果一個梅森數是質數那麼它稱為梅森質數M2 = 22 1 = 3M3 = 23 1 = 7 是質數。M4 = 24 1 = 15 不是質數。M11 = 211 1 = 23 × 89不是質數。

梅森質數列表如下

#

n

Mn

Mn的位數

發現日期

發現者

1

2

3

1

古代

古人

2

3

7

1

古代

古人

3

5

31

2

古代

古人

4

7

127

3

古代

古人

5

13

8191

4

1456

無名氏

6

17

131071

6

1588

Cataldi

7

19

524287

6

1588

Cataldi

8

31

2147483647

10

1772

歐拉

9

61

2305843009213693951

19

1883

Pervushin

 

3.合乎畢氏定理a2+b2=c2a,b,c為正整數,a,c為質數,例(3,4,5),(5,12,13)等

 

 

part1

參考答案:

1.13不是97的因數

2.97不是13的倍數

3.42的所有因數1,2,3,6,7,14,21,42

4.含有2因數的數:432, 654

含有3因數的數:321432543654765

含有5因數的數:765

5.1,2,    711

6.32,54,762的倍數,65 5的倍數

7.=5

8.123458不是4的倍數

9.712345不是4的倍數

10.4×3=124×8=324×13=524×18=74×23=92

=13579

11.123456=21

21÷9=2..3

12345不是9的倍數。

12.=3

13.200÷3=662

500÷3=166..2

800÷3=2662

所以都餘2

14.1234567不是3的倍數

15.=0,369

16.=9

17.=7

18.15=5×1=1×5一種拼法(236=1×36=2×18=3×12=4×9=6×6五種拼法

19.91=7×13,所以91不是質數

20.1, ⑦, ⑬, 91

21.96=2×2×2×2×2×396=3×2×2×2×2×2

 

 

 

 

 

 

 

1.

2

36

 

2

18

<-36÷2

3

9

<-18÷2

 

3

<-9÷3

36=2×2×3×3

2.

2

136

 

2

68

<-136÷2

2

34

<-68÷2

 

17

<-34÷2

136=2×2×2×17=23×17

 

part2

參考答案:

1.791的因數

2.1,2,4,8

3.1,2,3,4,6,8,12,16,24,48

4.1,2,7,14,49,98

5.131是質數

6.187=11×17,所以187不是質數

7.30=7+23=11+19=13+1734=5+29=11+2354=7+47=11+43=13+41=17+37=23+31

8.5135的質因數

9.8不是184的質因數

10.11不是234的質因數

11.17391的質因數

12.1, ②, ③, 6, ⑦, 14, 21

13.90=2×32×5

72=23×32

81=34

60=22×3×5

14.90=2×32×5

72=23×32

81=34

60=22×3×5

15.含有2因數的數:234,456,

含有3因數的數:123,234,345,456,567

含有5因數的數:345

16.123×7223×3×5311×13422×3×5×7552×23

633×13×11×37

是非題

1.× 2.× 3.× 4.× 5.×

選擇題:

1.B 2.D  3.C  4.B 5.C  6.A  7.D  8.C

 

 

填充題:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

53,59

0

21

23×34×5

66

4

5

2004

28

 

11

12

13

30

4

 

計算題:

1.182780=22×3×5×13

2.2720=24×32×5

3. 22×3×7×13,所有質因數有2,3,7,13

4.12,3,5,7,11,13,17,19,23,29,41,43,47,53,59共15個26個

 

part3

參考答案:

1.191是質數

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