最大公因數與最小公倍數

重點

1.表列法求兩數的最大公因數。

2.互質:兩數的最大公因數等於1。

3.質因數分解的方法求兩數的最大公因數。

4.以短除法求兩數的最大公因數。

5.用表列的方法求兩數的最小公倍數。

6.質因數分解的方法求兩數的最小公倍數。

7.以短除法求兩數的最小公倍數。

8.求三個數的最大公因數與最小公倍數。

最大公因數

PART 1:主題探索窗

探索一:表列法求兩數的最大公因數

範例1

用表列法求4860的最大公因數。

解:48的因數1,2,3,4,6,8,12,16,24,48

60的因數1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60

4860的公因數1,2,3,4,6,12

4860的最大公因數12

練習1

用表列法求18 39的最大公因數。

 

範例2

表列法求89兩數的最大公因數。

解:8的因數1,2,4,8

9的因數1,3,9

89的公因數1

89的最大公因數1

我們稱89互質

練習2

表列法求827的最大公因數。

 

探索二:指數法求兩數的最大公因數

範例3

指數法求23×324×32兩數的最大公因數。

解:23×3的因數1,2,22,23,3,2×3,22×3,23×3

24×32的因數1,2,22,23,24,3,2×3,22×3,23×3,24×3,32,2×32,22×32,23×32 ,24×32

23×324×32的公因數1,2,3,2×3,22×3,23×3

23×324×32的最大公因數23×3

練習3

指數法求23×322×32兩數的最大公因數。

 

探索三:利用標準分解式求最大公因數

範例4

1827的最大公因數

解:18=2×32

27=33

3233較小者為32

1827的最大公因數32

練習4

3612的最大公因數

 

 

探索四:短除法求兩數的最大公因數

範例5

用短除法求1827的最大公因數

解:

公因數3

3

18

27

 

 

公因數3

3

6

9

<-18÷3

27÷3

 

 

2

3

<-6÷3

9÷3

1827的最大公因數3×3=9

練習5

用短除法求3612的最大公因數

 

探索五:輾轉相減法

範例6

用輾轉相減法求1827的最大公因數

解:大數減小數,依次相減至0

ab-ac=a(b-c),相減過程,最大公因數仍保有。

27-18=9(大數-小數(減數))

18-9=9(減數與餘數,較大者減較小者)

9-9=0………最大公因數9(減數與餘數,較大者減較小者)

1827的最大公因數9

1827的最大公因數以(18,27=9表示

練習6

輾轉相減法求3612的最大公因數

 

 

 

 

 

 

探索六:求三個數的最大公因數

範例7

用短除法求18 2763的最大公因數

解:

公因數3

3

18

27

63

 

 

 

公因數3

3

6

9

21

<-18÷3

27÷3

63÷3

 

 

2

3

7

<- 6÷3

9÷3

21÷3

182763的最大公因數3×3=9

練習7

用短除法求36,7212的最大公因數

 

最小公倍數

探索七:表列法求兩數的最小公倍數

範例8

用表列法求1824的最小公倍數。

解:18的倍數18,36,54,72,90,108,126,144,162,180

24的倍數24,48,72,96,120,144,168,

4860的公倍數72,144,

4860的最小公倍數72

練習8

用表列法求18 12的最小公倍數。

 

範例9

表列法求816兩數的最小公倍數。

解:8的倍數8,16,24,32

16的倍數16,32,48

816的公倍數16,32,…。

816的最小公倍數16

816的最小公倍數以[8,16]=16表示

練習9

表列法求87的最小公倍數。

 

探索八:指數法求兩數的最小公倍數

範例10

指數法求23×324×32兩數的最小公倍數。

解:23的倍數23,24,25

24的倍數24,25 ,

2324的公倍數24,25

2324的最小公倍數24

3的倍數3,32,33

32的倍數32,33 ,

332的公倍數32,33

332的最小公倍數32

23×324×32的最小公倍數24×32

練習10

指數法求23×322×32兩數的最小公倍數。

 

探索九:利用標準分解式求最小公倍數

範例11

1827的最小公倍數

解:18=2×32

27=33

3233較大者為33

1827的最小公倍數33

練習11

3612的最小公倍數

 

 

探索十:短除法求兩數的最小公倍數

範例12

用短除法求1827的最小公倍數

解:

公因數3

3

18

27

 

 

公因數3

3

6

9

<-18÷3

27÷3

 

 

2

3

<-6÷3

9÷3

1827的最小公倍數3×3×2×3=54

練習12

用短除法求3612的最小公倍數

 

a=pmb=qmmab的最大公因數,p,q互質。

a×b=p×q×m×m=c×mc=pqmab的最小公倍數

範例13

ab的最大公因數為12,最小公倍數為72,求a,b(a < b)

解:72=12×6

6=1×6=2×3

答:a=12×1b=12×6a=12×2b=12×3

練習13

ab的最大公因數為18,最小公倍數為180,求a,b(a < b)

 

探索十一:求三個數的最小公倍數

範例14

用短除法求18 2763的最小公倍數

解:

三數公因數3

3

18

27

63

 

 

 

三數公因數3

3

6

9

21

<-18÷3

27÷3

63÷3

 

 

2

3

7

<- 6÷3

9÷3

21÷3

182763的最小公倍數3×3×2×3×7=378

 

練習14

用短除法求36,6012的最小公倍數

 

範例15

用短除法求36,7212的最小公倍數

解:

三數公因數2

2

36

72

12

 

 

 

三數公因數2

2

18

36

6

<-36÷2

72÷2

12÷2

三數公因數3

3

9

18

3

<-18÷2

36÷2

6÷2

二數公因數3

3

3

6

1

<-9÷3

18÷3

3÷3

 

 

1

2

1

<-3÷3

6÷3

 

三數中皆有公因數要一起被除,不可放著一數不去除。

二數有公因數要一起被除,第三數與其它二數互質,仍原數保持不變。

36,7212的最小公倍數2×2×3×3×1×2×1=72

練習15

用短除法求76,7212的最小公倍數

 

PART 2:學習檢測站

1.8 9都是質數?它們互質?

 

 

2.2 5都是質數?它們互質?

 

 

3.3 9都是質數?它們互質?

 

 

4.18 39都是質數?它們互質?

 

 

5.指出下列哪些數與10互質。

781523

 

 

6.利用質因數分解法求下列各數的最大公因數

(1) (2732)=

 

 

(2) (4860)=

 

 

(3) (3712)=

 

 

7.利用短除法求下列各組數的最大公因數

(1) (72150)


(2) (12042)

 

 

8.求下列各組數的最大公因數

(1) (6084)=

 

 

(2) (7254)=

 

 

(3) (23×524×11)

 

 

(4) (28026×7×11)

 

 

(5) (3096)

 

 

(6) (560240)

 

 

9.利用質因數分解法求下列各組數的最大公因數

(1) (213514)=

 

 

(2) (857090)=

 

 

10.利用短除法求下列各組數的最大公因數

(1) (213514)=

 

 

(2) (857090)=

 

 

 

 

 

11.利用兩種方法求下列各組數的最小公倍數

(1) [3542]

 

 

(2) [416]

 

 

(3) [718]

 

 

(4) [5084]

 

 

12.求下列各組數的最小公倍數

(1) [25×3×523×5×7]=

 

 

(2) [13535×7]

 

 

(3) [252216]

 

 

(4) [240800]

 

 

13.利用兩種方法求下列各組數的最小公倍數

(1) [152535]

 

 

(2) [41015]

 

 

14.求下列各組數的最小公倍數

(1) [283648]

 

 

(2) [242040]

 

 

15.一張長方形紙長8公分寬6公分要分割成最大正方形, 最大正方形的面積為何?

 

 

16.一塊蛋糕長8公分寬6公分高2公分要切成最大正方體, 最大正方體的體積為何?

 

 

17.一塊瓷磚長8公分寬6公分,要拼成正方形,問(1)最小面積是多少?(2)需幾塊瓷磚?

 

 

18.兩個齒輪,一個半徑為8公分,另一個半徑為6公分大齒輪的a點與小齒輪的b點相遇,下一次遇到時,a點已轉了幾圈?

 

 

19.韓信點兵, 部隊人數點名,3個一數餘15個一數餘17個一數餘1,最少人數是多少?

 

 

20.一塊瓷磚長8公分寬6公分高2公分,要拼成正方體,問(1)最小體積是多少立方公分?(2)需幾塊瓷磚?

 

 

21.兩數的最大公因數是32,最小公倍數是320,問這兩數?

 

 

22.一張紙長8公分寬6公分,45度對褶,將等腰直角三角形裁掉,剩下 6x2矩形,繼續,45度對褶,將等腰直角三角形裁掉,剩下 4x2矩形,,45度對褶,將等腰直角三角形裁掉,剩下 2x2正方形,此2公分與6公分、8公分有什麼關係?

 

 

23.4公克與7公克的砝瑪可以量出1公克的物件?

 

 

24.4公克與6公克的砝瑪可以量出1公克的物件?

 

 

25.用圓規與直尺可量得90度、45度、60度、30度、15度, 亦可量得36度、18度,由這些資料可量得最小整數度數。

 

 

26.1號星期三問28號星期幾?

27.1/7=0.142857………  小數點後70位的數字是多少?

 

一、是非題:(對打○,錯打×)

(  )1.兩個相異質數一定互質

(  )2.a , b為兩相異正整數,且(a , b)=c,則( , )=1

(  )3.當兩數的最大公因數為1時,我們稱此兩數互質。           

(  )4.兩個相異質數不一定互質,兩個合數必不互質。                  

(  )5.兩數的最大公因數為1,則此兩數的最小公倍數是兩數相乘,同理,若三個數的最大公因數也是1,則此三數的最小公倍數也是三個數連續相乘。

二、選擇題:

(  )1.95040的標準分解式為,則2×b×5×c,則a , b , c的最小公倍數為A18 B33 C66D726

(  )2. ,  , 分別同乘以一個數後會變為整數,則所乘的最小整數為多少?A20B30C40D60

(  )3.a是一正整數,其所有正因數有1 2 4 7 14 28,則a210的最大公因數為何?A4B7C14 D28

(  )4.下列哪一個數是6810的公倍數?
(A) 240   (B)280    (C) 300  (D) 320 
 

(  )5.下列那一個數與12互質?
A
8213235    

(  )6.下列哪一組數兩數互質?(A51,85B69,46C81,64D49,35

(  )7.小梅拿了一張長 130 公分,寬 80 公分的紙張,剛好剪出 n 個正方形(其面積大小可以不相同),請問 n 的最小值是多少?
A5 () 6 () 7 () 104

(  )8.下列何者與91互質(A35 () 15 () 26 () 77

(  )9.429 和 32572 所有共同的質因數有哪些?
A) 
3 () 35 () 37 () 57 

 

三、 填充題:

1.以標準分解式表示2×5×7 ,3×5×711)=_____________

2.以標準分解式表示[2×3×5×11,2×3×11,2×3×5×7]=__________

3.一年甲班學生有36人,從星期一到星期五每天按座號順序4人擔任值日生,第一週星期一是第1號到第44人擔任,如果都沒有人缺席,這4人第幾週的星期一又會一起擔任值日生?______

4.182345437123414795781565928個數中,2的倍數有a個,3的倍數有b個,5的倍數有c個,則abc           

5.請問小妤需要使用          塊長4公分、寬3公分、高6公分的積木,才能堆成一個最小的實心正方體。

6.小惠家的客廳長750公分、寬720公分,她想將地板鋪滿大小相同的正方形瓷磚。在不切割瓷磚的前提下,至少需要            塊瓷磚才能將地板鋪滿。

7.小堤、小安、小凡三人同時、同地、同方向出發,繞一周長為400公尺的操場慢跑,已知小堤、小安、小凡繞一圈所需時間分別為6分鐘、8分鐘、10分鐘,請問他們第三次在出發點會合需要            分鐘。

8.某大於1的正整數除以3456得的餘數皆為1求某數最小為?【      】。

9.45,(2436)〕=【    】。

10.18402460)=【    】。

11. a 為正整數,且+  + +- - -- - -+的和是整數,則 a 的值是      (寫出所有可能數值)

12.寫出8402×32×5×11的所有共同質因數______(全對才給分)

13.求( 280 , 25×7×11)=______________(答案需乘開算出)

14.150的正整數中與12互質的數共_________個。

15.20小且與30 互質的正整數,有哪些?
(全部答對給5分,多答一個或少答一個都扣一分)

16.([60,90],105)______(300,22´33)=_______

17.已知A=2×33×5×7B=2×3×52×7,且(A,B)2×33×52×7,則□+◎最小等於     

18.將一張長32公分,寬12公分的長方形紙張,剪去一個最大的正方形,然後將所剩下的紙張再剪去一個最大的正方形,,如此操作下去直到所剩下的紙張為正方形為止。請問共可得     個正方形,最後正方形的邊長為      公分 。

19.求最小公倍數[23×3×5,22×3×72,32×5×13]=         (答案用標準分解式表示不需乘開)。

20.小保在公車總站等待搭乘,他發現A線公車每15分鐘進站一次,B線公車每20分鐘進站一次,C線公車每12分鐘進站一次,若三線公車於早上七點同時進站,則下一次再同時進站是          分鐘後。                                             

四、計算題:

1.計算[(36 ,48,24 ,15]=

 

 

 

 

2.老先生想將家裡的長方體浴缸內部鋪上正方形的磁磚,已知浴缸內部的長為154公分、寬為98公分,高為84公分,請問老先生想不經由切割或重疊正方形瓷磚,且暫不考慮連接空隙的貼黏下,請問:

(1)使用最大的正方形瓷磚邊長為多少公分?

(2)承(1)需此種瓷磚多少塊?                 

3.求最大公因數(280)=(答案需乘開)                           

4.求最小公倍數[361,437,667]=(答案以標準分解式表示)                      

5.(A,60)=30[A,60]= ,求A=(答案需乘開)                   

6.小強欲將家中的客廳全部貼上地磚,測量客廳的長為6.6公尺,寬為4.2公尺,到大賣場後發現地磚有三種正方形的規格,美麗牌邊長60公分每片50元,英俊牌邊長30公分每片12元,光榮牌邊長20公分每片6元,若小強想要選用同一廠牌的地磚,以最省錢的方式,請問小強需要選用何種牌子的地磚?合計多少錢?

 

PART 3:高手競技場

範例1

韓信點兵, 部隊人數點名,3個一數餘15個一數餘17個一數餘1,最少人數是多少?

解:[3,5,7]=3×5×7=105

105+1=106

練習1

韓信點兵, 部隊人數點名,2個一數餘13個一數餘15個一數餘1,最少人數是多少?

 

 

範例2

韓信點兵, 部隊人數點名,3個一數餘15個一數餘17個一數餘1,人數接近1000人是多少?

解: [3,5,7]=3×5×7=105

1000÷105=945

105×9+1=946

105×10+1=1051

1051最接近

練習2

韓信點兵, 部隊人數點名,2個一數餘13個一數餘15個一數餘1,人數接近1000人是多少?

 

範例3

韓信點兵, 部隊人數點名,3個一數不足15個一數不足17個一數不足1,最少人數是多少?

解:[3,5,7]=3×5×7=105

105-1=104

104

練習3

韓信點兵, 部隊人數點名,2個一數不足13個一數不足15個一數不足1,最少人數是多少?

 

範例4

韓信點兵, 部隊人數點名,3個一數餘15個一數餘27個一數餘3,最少人數是多少?

解:a÷3=b1,4,7

1+3=4,4+3=7

a÷5=c2,7

2+5=7

補足至同餘

a÷15=d7,22,37,52

7+15=22,22+15=37,37+15=52

a÷7=b3,10,17,24,31,38,45,52

3+7=10,…….45+7=52

補足至同餘

15×7+52=105+52=157

練習4

韓信點兵, 部隊人數點名,2個一數餘13個一數餘25個一數餘3,最少人數是多少?

 

1. 用圓規與直尺可量得90度、45度、60度、30度、15度, 亦可量得36度、18度,由這些資料可量得最小整數度數。作15度,36

解:⊿ABC是直角三角形,==2=1=1+=2

求作:36

作法:

C為圓心,半徑1畫圓交射線D

A為圓心,半徑2畫圓                  

D為圓心,半徑畫圓交圓於E

AE

ADE即為所求

 

 

PART 4:資源補給庫

應用韓信點兵找質數

1.   2,3找質數,小於32=9

解:a=1 mod 2

a=1 mod 3

2×3+1=7

a=1=-1 mod 2

a=2=-1 mod 3

2×3-1=5

 

2,3,5,7質數質數,小於72=49

解:

(1) a=1 mod 2

a=1 mod 3

a=1 mod 5

2×3×5+1=31

31=3 mod 7

31是質數

 

(2) a=1 mod 2

a=1 mod 3

a=1=7 mod 6

a=2 =7 mod 5

7小於25是質數

6×5+7=37

37=2 mod 7

37是質數

 

(3) a=1 mod 2

a=1 mod 3

a=1=7=13 mod 6

a=3 =8=13 mod 5

13是質數

6×5+13=43

43=1 mod 7

43是質數

 

(4) a=1 mod 2

a=1 mod 3

a=1=7=13=19 mod 6

a=4 =9=14=19 mod 5

19是質數

6×5+19=49

49=0 mod 7

49不是質數

 

(5) a=1=-1 mod 2

a=2=-1 mod 3

a=-1=5=11 mod 6

a=1=6=11 mod 5

a=11 是質數

6×5+11=41

41=6 mod 7

41是質數

 

(6) a=1=-1 mod 2

a=2=-1 mod 3

a=-1=5=11=17 mod 6

a=2 =7=12=17mod 5

a=17小於25是質數

6×5+17=47

47=6 mod 7

47是質數

 

(7) a=1=-1 mod 2

a=2=-1 mod 3

a=-1=5=11=17=23 mod 6

a=3 =8=13=18=23mod 5

a=23小於25是質數

 

(8) a=1=-1 mod 2

a=2=-1 mod 3

a=-1=5=11=17=23=29 mod 6

a=4 =9=14=19=24=29mod 5

29=1 mod 7

29是質數
11,13,17,19,23,29,31,37,41,47
皆是質數

 

part1

參考答案:

1.18的因數1,2,3,6,9,18

39的因數1,3,13,39

1839的公因數1,3

1839的最大公因數3

2.8的因數1,2,4,8

27的因數1,3,9,27

827的公因數1

827的最大公因數1

3.23×3的因數1,2,22,23,3,2×3,22×3,23×3

22×32的因數1,2,22,3,2×3,22×3,2×32,22×32

23×322×32的公因數1,2,3,2×3,22×3

23×322×32的最大公因數22×3

4.36=22×32

12=22×3

2222較小者為22

323較小者為3

3612的最大公因數22×3

5.   

公因數2

2

36

12

 

 

公因數2

2

18

6

<-36÷2

12÷2

公因數3

3

9

3

<-18÷2

6÷2

 

 

3

1

<- 9÷3

3÷3

3612的最大公因數22×3

6.36-12=24

24-12=12

12-12=0………最大公因數12

3612的最大公因數12

7.

公因數2

2

36

72

12

 

 

 

公因數2

2

18

36

6

<-36÷2

72÷2

12÷2

公因數3

3

9

18

3

<-18÷2

36÷2

6÷2

 

 

3

6

1

<-9÷3

18÷3

3÷3

36,7212的最大公因數22×3

8.18的倍數18,36,54,72,90,108,126,144,162,180

12的倍數12,24,36,48,60,72,84,

1812的公倍數36,72,…。

4860的最小公倍數36

9.87的最小公倍數56

10.23×322×32兩數的最小公倍數22×3

11.3612的最小公倍數22×3

12.3612的最小公倍數2×2×3×3=36

13.a=18×1b=18×10a=18×2b=18×5

14.36,6012的最小公倍數22×3×3×5

15.76,7212的最小公倍數1368

 

part2

參考答案:

1.8 9都不是質數,它們互質。

2.2 5都是質數,它們互質。

3.3是質數,9不是質數,它們不互質。

4.18 39都不是質數,它們不互質

5.7,23

6.1121231

7.1626

8.112218323423×756680

9.1725

10.1725

11.15×6×721637×18422×32×5×7

12.125×3×5×7235×5×7323×33×7425×3×52

13.13×52×7222×3×5

14.124×32×7223×3×5

15.4平方公分

16.8立方公分

17.576平方公分

18.3

19.106

20.13824立方公分

21.320÷32=10=1x10=2x5

32x1=32

32x10=320

32x2=64

32x5=160  

答:32,320     64,160

22.(6,8)=2

23.4x2=8

7x1=7  8-7=1

24.6-4=2

4-2=2

2-2=0

25.3

26.1       28+2=30  30÷7=42   星期五

27.70÷6=114      答: 8

參考答案:

是非題:

1. 2.  3. 4.× 5.×

選擇題:

1.C   2.B  3.C  4.A  5.D  6.C 7.D  8.C  9.A

填充題:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

54×73

25×33×53×7×11

10

7

24

600

360

61

180

720

 

11

12

13

14

15

16

17

21,7,3,1

2,3,5

56

27

7,11,13,17,19

15,12

5

 

18

19

20

5,4

23×32×5×72×13

60

計算題:

1.120

1.5×7×17

2.28

3.19×19×23×33

4.90

5.光榮牌2358元

 

 

part3

1.[2,3,5]=30

30+1=31

2.[2,3,5]=30

1000÷30=33…10

30×33+1=991

30×34+1=1021

答:991最接近

3.[2,3,5]=30

30-1=29

4.a÷2=b1,3,5

1+2=3,3+2=5

a÷3=c2,5

2+3=5

補足至同餘

a÷6=d5,11,17,21273339

5+6=11,11+6=17,17+6=21

a÷5=b3,8,13,18,23,28,33

3+5=8,…….28+5=33

補足至同餘

6×5+33=30+33=63

創用CC標示:
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