第一冊  主題四  一元一次方程式

4-2：式子的化簡

PART 1：主題探索窗

 

探索一：認識一元一次式

一元一次式：若一個式子中含有一種代表數的符號(即一個未知數)，且該文字符號的次數是一次，我們稱這樣的式子為一元一次式。例如－7x＋9、5y－1、4x…等的代數式。 項：在一元一次式3x－2－7x＋11中，亦可寫成3x＋(－2)＋（－7x）＋11，將3x、－2、－7x、11之間用「＋」號區隔，我們可稱3x、－2、－7x、11為一元一次式的項。 同類項：代數式中，文字符號相同且文字符號的次數也相同的項，稱為同類項。例如上列的一元一次式3x－2－7x＋11中，3x與－7x為同類項，－2與11為同類項。 係數與常數項：型如ax＋b的代數式中，我們稱x項的係數為a，常數項為b。例如上述－7x＋9中，x項的係數為－7，常數項為9；又如5y－1的一次式中，y項的係數為5，常數項為－1；而4x的一次式中，x項的係數為4，常數項為0。

 

範例1

若x、y均為未知數，則下列何者為一元一次式？
(1)25x＋13y    (2) 4x－7y－3  
(3)2x² +x－3   (4) 48y      (5) 9

解：

僅有(4)為一元一次式

說明：(1)二元一次式   (2) 二元一次式 (3) ㄧ元二次式
(4) ㄧ元一次式  (5) 零次式   

答：(4) 

 

練習1

若x、y、z均為未知數，則下列何者為一元一次式？

(1)5z＋3y  (2) 12x＋3y－4z  (3) 4x² ＋1  
(4) 7y  (5) 31z＋11

解：

 

範例2

寫出7x－5＋2－9x－6x＋48－x的同類項

解：7x、－9x、－6x、－x為同類項
－5、2、48為同類項

 

練習2

寫出(3.5x－8)＋(21－14x)＋(－4x＋31)＋(10－7x)的同類項

解：

 

探索二：式子的加減

式子的加(減)運算技巧：進行式子的加減運算時，只有同類項才能合併；即相同的文字符號且次方相同者可合併，數字部分則自行合併，且算式中的「＋」、「－」符號不可省略。 加法的性質：對於任意a、b、c三數，可以得到下列性質： （1）加法交換律：a＋b＝b＋a （2）加法結合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）

 

範例3

化簡下列各式：

(1)－12x＋7x       (2)－43x－13x＋9 

解：(1)原式＝(－12＋7)x＝－5x
(2) 原式＝(－43－13)x＋9＝－56x＋9

答：(1) －5x  (2)－56x＋9

 

練習3

化簡下列各式：

 (1)－21x－9－9x－21   

 (2)－8x＋6－12x＋3＋20x－5

（3）26×x＋20－4×x＋13

解： 

 

範例4

（1）x×(－12)＋15－17x＋6

（2）(－48a)÷6＋7a－9

（3）x×（－）－13－2x＋8x

解：

（1）原式＝－12x＋15－17x＋6＝－29x＋21

（2）原式＝－8a＋7a－9 ＝－a－9

（3）原式＝－x－13－2x＋8x＝5x－13 

 

練習4

（1）－17x＋5－13x＋6＋21x－4

（2）a×＋＋a×－1

（3）x÷2＋x×－1

解：

 

探索三：式子的乘除

式子的乘(除)運算技巧： 乘法交換律：a×b＝b×a 乘法結合律：（a×b）×c＝a×（b×c） 分配律：a（b＋c）＝a×b＋a×c 乘法技巧：兩個或兩個以上的代數式相乘，可將”文字×文字，數字×數字”，再依乘號的省略規則寫出即可。 除法技巧：先將除法改記為分數的形式，再依乘法的運算規則即可。 去括號：括號前面若為正號，去括號後各項的符號不變；若括號前面為負號，則去括號後各項的符號均要改變， 即正變負、負變正。 例如：＋（7x－9）＝7x－9； －（－4＋5x）＝4－5x

 

範例5

化簡下列各式：

(1)(－13x)×(－5)   (2)(－x)×24   (3) (－27x)÷(－)

解：

(1)原式＝[(－13)×(－5)]×x ＝65x

(2)原式＝[(－)×(24)]×x＝－16x

(3)原式＝(－27x)×(－)＝[(－27)×(－)]×x＝6x

 

練習5

化簡下列各式：

(1)(－x)×(－)   
(2)(－x)÷（－10） 
(3) (－x)÷(－)

解：

 

範例6

去掉各式的括號：

(1) 5(3x－1)   (2) －2(x－4) 
(3)－(－6－x)  (4) (24x－8)÷4

解：

(1)15x－5   (2) －2x＋8  (3) 6＋x

(4)原式＝(24x－8)×＝6x－2

 

練習6

(1) －(5x＋2)   (2) －(8x－12)  (3) (36x－10)÷(－)

解

範例7

(1) 3(2x＋7)－4(x－1)     (2) －7(4x＋2)－(5x＋9)

解：

(1)原式＝6x＋21－4x＋4 ＝(6x－4x)＋(21＋4)＝2x＋25

(2)原式＝－28x－14－5x－9＝(－28－5)x＋(－14－9)＝－33x－23

 

練習7

(1) (24x－9)－(6x－3)    
(2) －(3x－7)－(－10x＋5)

解：

範例8

化簡 －

解：

原式＝－()＝＝

答：

 

練習8

(1)化簡 ＋－＋
(2)化簡 －

解：

 

範例9

芳萍畫出如下的圖形，已知ㄅ、ㄆ、ㄇ、ㄈ為四個長方形。
則：

 

(1)ㄅ、ㄆ、ㄇ三個長方形的面積為何？

(2)ㄈ的周長為何？

解：

(1)ㄅ面積＝1×6x＝6x

ㄆ面積＝2×3x＝6x

ㄇ面積＝6×（6x－3x－2x）＝6×x＝6x

(2)ㄈ的周長為2×（2x＋3x）＝2×5x＝10x

答：(1)ㄅ：6x； ㄆ：6x；  ㄇ：6x

(2)ㄈ：10x

 

練習9

已知四邊形ABCD、EFGH均是長為2x、寬為3的矩形。今將兩個矩形做部分疊合，使得E點在上，B點在上，如圖所示。則重疊後的圖形周長為何﹖

解：

        

PART 2：學習檢測站

一、選擇題

（  ）1.若x、y均為未知數，則下列何者為一元一次式？
(A)3x －7y    (B) －13y＋6    (C) x² －9   (D) 41x－39y

（  ）2.下列四個式子的化簡過程，哪一個是正確的？
(A) 3x－2x＝1ˉ(B)43a＋5＝48aˉ
(C)（－4）×17y＝68y  (D) 42x÷＝63x。

（  ）3.小安的錢包裡共有15y元，請問15y與下列哪一個選項相同？
(A) 15 ×× y　(B) 15 ×＋y　
(C)(15＋) y  (D) 15＋＋y

（  ）4.數學課老師舉行隨堂考，每答對一題給25分，已知阿財計算下列四題的結果如下，請問他得幾分？
甲：3x＋（－4x）＝x   乙：－2(x＋6)＝－2x＋6
丙：27x－（－5x）＝32x   丁：8x－（5－4x）＝12x－5
(A)100分ˉ(B)75分ˉ(C)50分ˉ(D)25分。

（  ）5.化簡 －3(2x＋1)－2(x－5) 之後，可得下列哪一個結果？
(A) －4x－8     (B) －6x－13   
(C) －8x－8     (D) －8x＋7

（  ）6.美美早餐店一個菜包賣a元，一個蛋餅賣元，則下列敘述何者正確？
(A)三個菜包的價錢是一個蛋餅價錢的4倍多6元
(B)四個蛋餅的價錢多6元與一個菜包的價錢相同
(C)三個蛋餅的價錢與四個菜包多6元的價錢相同
(D)四個蛋餅的價錢與三個菜包的價錢相同。

（  ）7.若蘭原有1200元，若她每天用去(2x－37）元，則五天後，她還剩下多少元？
(A)1385－10x  (B)1015－10x  
(C)1385＋10x  (D) 1015－10x

（  ）8.12x和下列哪一個選項的意義不同？  
(Ａ)12x＋x   (Ｂ)(12＋）x 
(Ｃ)12．x    (Ｄ) 。

（  ）9.以下是孟君化簡的過程：
步驟一：將式子乘以12，得3（3x－2）－4（5x＋4）
步驟二：去括號，得9x－6－20x－16
步驟三：合併同類項，化簡結果為－11x－22
對於孟君的化簡過程，下列敘述何者正確？
(A) 從步驟一就錯了     (B) 從步驟二就錯了
(C) 步驟三錯了         (D) 以上步驟均正確。

（  ）10.以下是丁大一某次數學平時測驗的答題狀況，請問他的分數為幾分？

數學平時測驗卷    姓名：丁大一   得分：     是非題：每題25分 ( X ) 1.(c－d)÷（a－b）＝(c－d)÷a＋（c－d）÷b ( O ）2.(c－d)÷（a－b）＝(c－d)÷a－(c－d)÷b ( X ) 3.（a－b）÷ (c＋d)＝＋ ( O ) 4.（a－b）÷ (c＋d)＝。

(A)100分   (B)75分   (C)50分   (D)25分 。

 

二、填充題

1.化簡下列各式：
（1）a×15＝        。  （2）66d÷8＝          。
（3）135k－79k－87k＝      。  （4）50（s＋）＝      
（5）37k－8＋79＋73k－44k＝        。

2.洋洋書局將進口書的成本加七成作為定價，售予顧客時再給予八折  的優惠，若某本進口書的成本為x元，則該本書賺或賠多少元？
答：           元。（以x表示）

3.小瑞到麵包店買每個12元的甜甜圈和每個15元的蛋塔。已知她買的甜甜圈個數比蛋塔多6個，若甜甜圈買a個，則她共需付       元。（以a表示並化簡）

4.化簡－可得                。

5.化簡－4(2x－7）＋5（－6x＋3）可得             。

6.化簡12x－〔5x－6（2x－3）〕＋9，可得               。

7.美智和同學去左岸公園遊玩，他們租了兩人座與三人座的協力車，若x人恰好分配兩人座協力車，y人恰好分配三人座協力車，每部協力車都坐滿，則他們總共租了                 輛協力車。

PART 3:高手競技場

1.若小軍的錢是曉雲的3倍，設曉雲有a元，若小軍拿出給曉雲，則兩人的錢相差          元。（以a表示並化簡）     

2.圖一的正方形內有9個數字，數字的總和為x。圖二中有五個正方形，
 
請問這五個正方形所有數字的總和為           。（以x表示）

3.化簡8×（－）÷（－），可得             。

4.伶芳每小時可走2.5x公里，週末她從家裡步行到外婆家，走了小時後，還有公里才到外婆家，則外婆家距離伶芳家共有          公里。

5.已知A＝6x－7，B＝－2x＋9，若C＝3A－4B，則C＝         
（以x表示並化簡）

 

PART 4：資源補給庫

一、小小神猜手

你知道為什麼有人這麼厲害，能立刻讀出你心中所想的數是什麼？在本單元，我們將提出兩個小遊戲，希望同學能透過遊戲活用代數的觀念，當你理解其中的奧秘後，你也會成為人人稱羨的神猜手！

(遊戲一)

遊戲人數：兩人以上，乃至數人，分成A、B兩方（可為個人或小組）

遊戲方法：A出題、B猜題，A按照下列步驟操作，只要告訴B最後的結果即可，讓B猜出A所選出來的數。

A：按下列步驟執行

步驟一、從1-9的數字中任選一個數（不讓B知道）。

步驟二、將此數乘上2。

步驟三、將步驟二得到的結果加上18。

步驟四、將步驟三得到的結果乘以5。

步驟五、將步驟四得到的結果減90，並將最後計算結果告訴B。

B：根據A告訴B的結果，猜出A心中的數，時間3分鐘，若猜中，則B可得一分，猜錯得0分。

註：A、B角色可互換一次，比賽後回答下列問題。

 

1.出題者所說的數與答題者所想的數是否有關係？若有，請說明有何關係？並請推論你的說法是正確的。

 

(遊戲二)

  有個猜數字的遊戲，其規則是這樣的：

步驟一：任選一個數。

步驟二：將此數加6 。

步驟三：將前一個結果乘以4。  

步驟四：將前一個結果加8。

步驟五：將前一個結果減去原來所選的數。

  請問最後所得的答案是多少？為什麼？

二、動動腦

※壁鐘敲幾秒

傍晚6點鐘的時候，壁上的古老掛鐘敲了6響。大雄用手錶對過，鐘聲從第一次敲到最後一次，經過的時間是30秒，請問在午夜壁鐘敲12響，要歷時多少秒？

 

參考資料：

土井一弘（民91）。伊可爾王子數學冒險記。台北：國際村。

白鳥敬（92）。生活中有趣的單位與記號事典。台北：世茂。

李國賢（民93）。趣味數學國中數學遊戲篇。台北：新潮社。

潘有發（民89）。趣味歌詞古體算題選。台北：九章。

蔣聲和陳瑞琛（民91）。趣味算術再闖關。香港：智能教育。

蔣聲和陳瑞琛（民91）。趣味代數考腦筋。香港：智能教育。

蔣聲和陳瑞琛（民91）。趣味代數再闖關。香港：智能教育。

 

 

本單元參考解答

PART 1：主題探索窗參考答案：

練習1：(4)、(5)為一元一次式

練習2：3.5x、－14x、－4x、－7x為同類項
－8、21、31、10為同類項

練習3：(1)－30x－30 
(2)原式＝(－8－12＋20)x＋(6＋3－5)＝4
(3)22x＋33

練習4：

(1)原式＝（－17x－13x＋21x）＋（＋5＋6－4）＝－9x＋7

(2)原式＝ (a＋a)＋(－1)＝a＋

(3)原式＝x＋x－1＝3x－1 

練習5：(1)x   (2)  (3)x

練習6：(1)－5x－2
(2)－2x＋3 
(3)原式＝(36x－10)×(－)＝－x＋4

練習7： (1)原式＝16x－6－3x＋＝13x－
(2)原式＝－x＋＋x－＝x＋

練習8： (1)原式＝(－)＋(＋)＝－＋
(2)原式＝()－()＝

＝

練習9：2x＋2x＋3＋（2x－3）＋（2x－3） ＋3＝8x
另解：2（2x＋2x） ＝8x

 

PART 2：學習檢測站參考答案：

一、選擇題

1.B     2.D    3.C    4.C    5.D    6.C    7.A    8.C    

9.A    10.B

 

詳解：

2.(A) 3x－2x＝1x＝x ˉ(B)43a＋5ˉ
(C)（－4）×17y＝－68y

3.15y＝(15＋) ×y

4.甲：3x＋（－4x）＝－x；  
乙：－2(x＋6)＝－2x－12

5.原式＝－6x－3－2x＋10＝－8x＋7

7.1200－5（2x－37）＝1200－10x＋185＝1385－10x

8.12x＝ 12x＋x＝(12＋)x＝x

但12．x＝8x

9.非等式，步驟一將式子乘以12不正確

10.第二題答案應為×

 

二、填充題：

1.（1）40a  （2）  （3）－31k  （4）70s＋75

  （5）66k＋71

2. 賺0.36x    3.27a－90    4.   5.－38x＋43

6. 19x－9   7.

詳解：

1.（1）原式＝a×15＝40a    （2）原式＝＝。
（3）原式＝－31k。        （4）原式＝70s＋75。
（5）原式＝66k＋71。

2.x（1＋70％）×0.8＝1.36x，1.36x－x＝0.36x（賺）

3.甜甜圈買a個，故蛋塔買(a－6)個
12a＋15（a－6）＝12a＋15a－90＝27a－90

4.－＝
＝＝

5.原式＝－8x＋28－30x＋15＝－38x＋43

6.12x－〔5x－6（2x－3）〕＋9
＝12x－〔5x－12x＋18〕＋9
＝12x－〔－7x＋18〕＋9
＝12x＋7x－18＋9＝19x－9

 

PART 3:高手競技場參考答案：

1.     2. 5x    3.    
4.1.25x＋0.75    5.26x－57

詳解：

1.曉雲有a元，故小軍有3a元
小軍拿出給曉雲，小軍有3a×＝
曉雲有a＋＝
－＝

2.∵ 1＋5＝2＋4＝2×3
5＋9＝6＋8＝2×7   
…33＋37＝34＋36＝2×35

∴ 五個正方形內所有數字的總和＝2x＋2x＋x＝5x

3.原式＝（）＝

4.(2.5x)×＋＝1.25x＋0.75

5.C＝3（6x－7）－4（－2x＋9）
＝18x－21＋8x－36＝26x－57

 

PART 4：資源補給庫參考答案：

一、小小神猜手

遊戲一：
經過5個步驟後，最後的結果會是A心中所想的數的10倍

設A心中所想的數為x

5(2x＋18)－90＝10x＋90－90＝10x

遊戲二：

原數的3倍多12

理由：4(x＋6)＋8－x＝3x＋32

二、動動腦

※壁鐘敲幾秒

答：66秒

敲6響，中間只有5個間隔，每一個間隔是30÷5=6秒。

敲第1響到第12響，中間有11個間隔，所以需要的時間是

6×11=66秒。