第一冊  主題四  一元一次方程式

4-2:式子的化簡

PART 1:主題探索窗

 

探索一:認識一元一次式

一元一次式:若一個式子中含有一種代表數的符號(即一個未知數),且該文字符號的次數是一次,我們稱這樣的式子為一元一次式。例如-7x95y14x…等的代數式。

項:在一元一次式3x27x11中,亦可寫成3x(2)+(-7x)+11,將3x、-2、-7x11之間用「+」號區隔,我們可稱3x、-2、-7x11為一元一次式的項。

同類項:代數式中,文字符號相同且文字符號的次數也相同的項,稱為同類項。例如上列的一元一次式3x27x11中,3x與-7x為同類項,-211為同類項。

係數與常數項:型如axb的代數式中,我們稱x項的係數為a,常數項為b。例如上述-7x9中,x項的係數為-7,常數項為9;又如5y1的一次式中,y項的係數為5,常數項為-1;而4x的一次式中,x項的係數為4,常數項為0

 

範例1

xy均為未知數,則下列何者為一元一次式?
(1)25x
13y    (2) 4x7y3  
(3)2x2 +x
3   (4) 48y      (5) 9

解:

僅有(4)為一元一次式

說明:(1)二元一次式   (2) 二元一次式 (3) ㄧ元二次式
(4)
ㄧ元一次式  (5) 零次式   

答:(4) 

 

練習1

xyz均為未知數,則下列何者為一元一次式?

(1)5z3y  (2) 12x3y4z  (3) 4x2 1  
(4) 7y  (5) 31z
11

解:

 

範例2

寫出7x529x6x48x同類項

解:7x、-9x、-6x、-x為同類項
5248為同類項

 

練習2

寫出(3.5x8)(2114x)(4x31)(107x)同類項

解:

 

探索二:式子的加減

式子的加()運算技巧:進行式子的加減運算時,只有同類項才能合併;即相同的文字符號且次方相同者可合併,數字部分則自行合併,且算式中的「+」、「-」符號不可省略。

加法的性質:對於任意abc三數,可以得到下列性質:
1)加法交換律:abba
2)加法結合律:ab)+ca+(bc

 

範例3

化簡下列各式:

(1)12x7x       (2)43x13x9 

解:(1)原式=(127)x=-5x
(2)
原式=(4313)x9=-56x9

答:(1) 5x  (2)56x9

 

練習3

化簡下列各式:

 (1)21x99x21   

 (2)8x612x320x5

326×x204×x13

解: 

 

範例4

1x×(12)1517x6

2(48a)÷67a9

3x×(-)-132x8x

解:

1)原式=-12x1517x6=-29x21

2)原式=-8a7a9 =-a9

3)原式=x132x8x5x13 

 

練習4

117x513x621x4

2a×a×1

3x÷2x×1

解:

 

探索三:式子的乘除

式子的乘()運算技巧:
乘法交換律:
a×bb×a
乘法結合律:a×b)×ca×(b×c

分配律:abc)=a×ba×c

乘法技巧:兩個或兩個以上的代數式相乘,可將”文字×文字,數字×數字”,再依乘號的省略規則寫出即可。

除法技巧:先將除法改記為分數的形式,再依乘法的運算規則即可。

去括號:括號前面若為正號,去括號後各項的符號不變;若括號前面為負號,則去括號後各項的符號均要改變,
即正變負、負變正。
例如:+(7x9)=7x9
-(-45x)=45x

 

範例5

化簡下列各式:

(1)(13x)×(5)   (2)(x)×24   (3) (27x)÷()

解:

(1)原式=[(13)×(5)]×x 65x

(2)原式=[()×(24)]×x=-16x

(3)原式=(27x)×()[(27)×()]×x6x

 

練習5

化簡下列各式:

(1)(x)×()   
(2)(
x)÷(-10 
(3) (
x)÷()

解:

 

範例6

去掉各式的括號

(1) 5(3x1)   (2) 2(x4) 
(3)
(6x)  (4) (24x8)÷4

解:

(1)15x5   (2) 2x8  (3) 6x

(4)原式=(24x8)×6x2

 

練習6

(1) (5x2)   (2) (8x12)  (3) (36x10)÷()

範例7

(1) 3(2x7)4(x1)     (2) 7(4x2)(5x9)

解:

(1)原式=6x214x4 (6x4x)(214)2x25

(2)原式=-28x145x9(285)x(149)=-33x23

 

練習7

(1) (24x9)(6x3)    
(2)
(3x7)(10x5)

解:

範例8

化簡

解:

原式=()

答:

 

練習8

(1)化簡
(2)
化簡

解:

 

範例9

芳萍畫出如下的圖形,已知ㄅ、ㄆ、ㄇ、ㄈ為四個長方形。
則:

JC91-2-1i 

(1)ㄅ、ㄆ、ㄇ三個長方形的面積為何?

(2)ㄈ的周長為何?

解:

(1)ㄅ面積=1×6x6x

ㄆ面積=2×3x6x

ㄇ面積=6×(6x3x2x)=6×x6x

(2)ㄈ的周長為2×(2x3x)=2×5x10x

答:(1)ㄅ:6x; ㄆ:6x  ㄇ:6x

(2)ㄈ:10x

 

練習9

已知四邊形ABCDEFGH均是長為2x、寬為3的矩形。今將兩個矩形做部分疊合,使得E點在上,B點在上,如圖所示。則重疊後的圖形周長為何﹖

解:

        

PART 2:學習檢測站

一、選擇題

 1.xy均為未知數,則下列何者為一元一次式?
(A)3x
7y    (B) 13y6    (C) x2 9   (D) 41x39y

 2.下列四個式子的化簡過程,哪一個是正確的?
(A) 3x
2x1ˉ(B)43a548aˉ
(C)
(-4)×17y68y  (D) 42x÷63x

 3.小安的錢包裡共有15y元,請問15y與下列哪一個選項相同?
(A) 15
×× y (B) 15 ×y 
(C)(15
) y  (D) 15y

 4.數學課老師舉行隨堂考,每答對一題給25分,已知阿財計算下列四題的結果如下,請問他得幾分?
甲:3x+(-4x)=x   乙:-2(x6)=-2x6
丙:27x-(-5x)=32x   丁:8x-(54x)=12x5
(A)100
分ˉ(B)75分ˉ(C)50分ˉ(D)25分。

 5.化簡 -3(2x1)2(x5) 之後,可得下列哪一個結果?
(A)
4x8     (B) 6x13   
(C)
8x8     (D) 8x7

 6.美美早餐店一個菜包賣a元,一個蛋餅賣元,則下列敘述何者正確?
(A)
三個菜包的價錢是一個蛋餅價錢的4倍多6
(B)
四個蛋餅的價錢多6元與一個菜包的價錢相同
(C)
三個蛋餅的價錢與四個菜包多6元的價錢相同
(D)
四個蛋餅的價錢與三個菜包的價錢相同

 7.若蘭原有1200元,若她每天用去(2x37)元,則五天後,她還剩下多少元?
(A)1385
10x  (B)101510x  
(C)1385
10x  (D) 101510x

 8.12x和下列哪一個選項的意義不同  
(
)12xx   ()(12x
 
()12x    ()

 9.以下是化簡的過程:
步驟一:將式子乘以12,得33x2)-45x4
步驟二:去括號,得9x620x16
步驟三:合併同類項,化簡結果為-11x22
對於的化簡過程,下列敘述何者正確?
(A)
從步驟一就錯了     (B) 從步驟二就錯了
(C)
步驟三錯了         (D) 以上步驟均正確。

 10.以下是丁大一某次數學平時測驗的答題狀況,請問他的分數為幾分?

數學平時測驗卷    姓名:丁大一   得分:    

是非題:每題25

( X ) 1.(cd)÷(ab)=(cd)÷a+(cd)÷b

( O 2.(cd)÷(ab)=(cd)÷a(cd)÷b

( X ) 3.ab)÷ (cd)

( O ) 4.ab)÷ (cd)

(A)100   (B)75   (C)50   (D)25分 。

 

二、填充題

1.化簡下列各式:
1a×15         266d÷8          
3135k79k87k       450s)=      
537k87973k44k       

2.洋洋書局將進口書的成本加七成作為定價,售予顧客時再給予八折  的優惠,若某本進口書的成本為x元,則該本書賺或賠多少元?
答:           元。(以x表示)

3.小瑞到麵包店買每個12元的甜甜圈和每個15元的蛋塔。已知她買的甜甜圈個數比蛋塔多6個,若甜甜圈買a個,則她共需付       元。(以a表示並化簡)

4.化簡可得               

5.化簡-4(2x7)+5(-6x3)可得            

6.化簡12x-〔5x62x3)〕+9,可得               

7.美智和同學去左岸公園遊玩,他們租了兩人座與三人座的協力車,若x人恰好分配兩人座協力車,y人恰好分配三人座協力車,每部協力車都坐滿,則他們總共租了                 輛協力車。


PART 3:高手競技場

1.小軍的錢是曉雲3倍,設曉雲a元,若小軍拿出曉雲,則兩人的錢相差          元。(以a表示並化簡)     

2.圖一的正方形內有9個數字,數字的總和為x圖二中有五個正方形,
 
請問這五個正方形所有數字的總和為           。(以x表示)


3.化簡8×(-)÷(-,可得            

4.伶芳每小時可走2.5x公里,週末她從家裡步行到外婆家,走了小時後,還有公里才到外婆家,則外婆家距離伶芳家共有          公里。

5.已知A6x7B=-2x9,若C3A4B,則C         
(以x表示並化簡)

 

PART 4:資源補給庫

一、小小神猜手

你知道為什麼有人這麼厲害,能立刻讀出你心中所想的數是什麼?在本單元,我們將提出兩個小遊戲,希望同學能透過遊戲活用代數的觀念,當你理解其中的奧秘後,你也會成為人人稱羨的神猜手!

(遊戲一)

遊戲人數:兩人以上,乃至數人,分成AB兩方(可為個人或小組)

遊戲方法:A出題、B猜題,A按照下列步驟操作,只要告訴B最後的結果即可,讓B猜出A所選出來的數。

A:按下列步驟執行

步驟一、從1-9的數字中任選一個數(不讓B知道)。

步驟二、將此數乘上2

步驟三、將步驟二得到的結果加上18

步驟四、將步驟三得到的結果乘以5

步驟五、將步驟四得到的結果減90,並將最後計算結果告訴B

B:根據A告訴B的結果,猜出A心中的數,時間3分鐘,若猜中,則B可得一分,猜錯得0分。

註:AB角色可互換一次,比賽後回答下列問題。

 

1.出題者所說的數與答題者所想的數是否有關係?若有,請說明有何關係?並請推論你的說法是正確的。

 

(遊戲二)

  有個猜數字的遊戲,其規則是這樣的:

步驟一:任選一個數。

步驟二:將此數加6

步驟三:將前一個結果乘以4  

步驟四:將前一個結果加8

步驟五:將前一個結果減去原來所選的數。

  請問最後所得的答案是多少?為什麼?

二、動動腦

※壁鐘敲幾秒

傍晚6點鐘的時候,壁上的古老掛鐘敲了6響。大雄用手錶對過,鐘聲從第一次敲到最後一次,經過的時間是30秒,請問在午夜壁鐘敲12響,要歷時多少秒?

 

參考資料:

土井一弘(民91)。伊可爾王子數學冒險記。台北:國際村。

白鳥敬(92)。生活中有趣的單位與記號事典。台北:世茂。

李國賢(民93)。趣味數學國中數學遊戲篇。台北:新潮社。

潘有發(民89)。趣味歌詞古體算題選。台北:九章。

蔣聲和陳瑞琛(民91)。趣味算術再闖關。香港:智能教育。

蔣聲和陳瑞琛(民91)。趣味代數考腦筋。香港:智能教育。

蔣聲和陳瑞琛(民91)。趣味代數再闖關。香港:智能教育。

 

 

本單元參考解答

PART 1:主題探索窗參考答案:

練習1(4)(5)為一元一次式

練習23.5x、-14x、-4x、-7x為同類項
8213110為同類項

練習3(1)30x30 
(2)
原式=(81220)x(635)4
(3)22x
33

練習4

(1)原式=(17x13x21x)+(564)=-9x7

(2)原式= (aa)(1)a

(3)原式=xx13x1 

練習5(1)x   (2)  (3)x

練習6(1)5x2
(2)
2x3 
(3)
原式=(36x10)×()x4

練習7 (1)原式=16x63x13x
(2)原式=-xxx

練習8 (1)原式=()()=-
(2)
原式=(
)()

練習92x2x3+(2x3)+(2x3) +38x
另解:22x2x) =8x

 

PART 2:學習檢測站參考答案:

一、選擇題

1.B     2.D    3.C    4.C    5.D    6.C    7.A    8.C    

9.A    10.B

 

詳解:

2.(A) 3x2x1xx ˉ(B)43a5ˉ
(C)
(-4)×17y=-68y

3.15y(15) ×y

4.甲:3x+(-4x)=-x  
乙:-2(x6)=-2x12

5.原式=-6x32x10=-8x7

7.120052x37)=120010x185138510x

8.12x 12xx(12)xx

12x8x

9.非等式,步驟一將式子乘以12不正確

10.第二題答案應為×

 

二、填充題:

1.140a  2  3)-31k  470s75

  566k71

2. 0.36x    3.27a90    4.   5.38x43

6. 19x9   7.

詳解:

1.1)原式=a×1540a    2)原式=
3)原式=-31k        4)原式=70s75
5)原式=66k71

2.x170%)×0.81.36x1.36xx0.36x(賺)

3.甜甜圈買a個,故蛋塔買(a6)
12a
15a6)=12a15a9027a90

4.

5.原式=-8x2830x15=-38x43

6.12x-〔5x62x3)〕+9
12x-〔5x12x18〕+9
12
x-〔-7x18〕+9
12
x7x18919x9

 

PART 3:高手競技場參考答案:

1.     2. 5x    3.    
4.1.25x
0.75    5.26x57

詳解:

1.曉雲a元,故小軍有3a
小軍拿出曉雲,小軍有3a×
曉雲a

2. 15242×3
5
9682×7   
333734+362×35

∴ 五個正方形內所有數字的總和=2x2xx5x

3.原式=()=

4.(2.5x)×1.25x0.75

5.C36x7)-4(-2x9
18x218x3626x57

 

PART 4:資源補給庫參考答案:

一、小小神猜手

遊戲一:
經過5個步驟後,最後的結果會是A心中所想的數的10

A心中所想的數為x

5(2x18)9010x909010x

遊戲二:

原數的3倍多12

理由:4(x6)8x3x32

二、動動腦

壁鐘敲幾秒

答:66

6響,中間只有5個間隔,每一個間隔是30÷5=6秒。

敲第1響到第12響,中間有11個間隔,所以需要的時間是

6×11=66秒。

創用CC標示:
CC