第一冊  主題四  一元一次方程式

4-3:解一元一次方程式

PART 1:主題探索窗

 

探索一:認識一元一次方程式

一元一次方程式:含有一種未知數(一元),且未知數的次數是一次的等式,稱為一元一次方程式。例如23x22720

方程式的解(或根):若將xa代入一元一次方程式,可以使等號左右兩邊相等,則稱xa為此一元一次方程式的解。
例如在一元一次方程式23x22720中,將x以-9代入,可得等號左邊=-20722720=等號右邊,故x=-9是方程式23x22720的解(或根)。

 

範例1

判斷下列何者為一元一次方程式:

(A) 9x5(x3)   (B) 10x3x=-30  (C) 5x4x7x20

解:(B)(C)為一元一次方程式

因為(B)(C)含有一種未知數x,且x的次數為一次,故為一元一次方程式

練習1

xy均為未知數,判斷下列何者為一元一次方程式:

(A) 3x8y240   (B) 9y2y7y0 
(C) 38x
4y38x7

解:

 

範例2  

小靈7杯珍珠奶茶,若她付1000元找回790元,假設每杯珍珠奶茶x元,請依題意列出一元一次方程式。

解:
依題意可列出7x1000790 

練習2

阿雄與家人到動物園遊玩,他們買了3張全票與4張學生票共付285元。若學生票每張x元,全票每張比學生票貴25元,請依題意列出一元一次方程式。    

解:

 

範例3

如圖,有一隻青蛙從離湖邊7公寸的位置跳躍,若他每一步的距離均為x,當他跳了6步後,離湖邊距離變為16公寸,請依題意列出一元一次方程式。

解:

76x16

練習3

「哈利」與「妙麗」均在數線上往「正」的方向跳躍,若「哈利」從-2的位置開始跳了9步之後停下來,「妙麗」則從3的位置跳了4步之後停下來,若最後兩人停在同一個點,且他們每跳一步的距離均為y,請依題意列出一元一次方程式。

解:

     

範例4

小瑜騎著單車到淡水小鎮品嚐著名的阿給與魚丸湯,並代同學購買。已知買阿給的同學比買魚丸湯的同學多6人,且阿給一個25元,魚丸湯一碗20元,幫同學買的金額共花600元,若她將收到的錢寫成:25x6)+20x600,則x代表的意義為何?

解:

x表示買魚丸湯的人數

練習4

承上題,若小文將收到的錢寫成:25y20y6)=600,則y代表的意義為何?

解:

 

範例5

判斷x9是下列哪幾個方程式的解? 

(A) 9x0   (B)x28   (C)2x117

解:x9代入各方程式:
(A) 左=9×981,右=0,故不是方程式的解
(B)  左= ×928,右=8,故是方程式的解
(C)
左=2×9119,右=17,故不是方程式的解
 
∴只有 (B)

練習5

判斷x=-4是下列哪幾個方程式的解? 

(A) 4x16     (B)8x5=-37    (C) x7=-6 

解:

 

探索二:等量公理

等量公理:當等號左右兩邊相等時,在等號左右兩邊同時加、減、乘、除一個數(除數不為0),等號仍然成立。

等量的遞移性:ab,且bc,則ac

等量加法公理相等的兩數,分別加上同一個數,其和仍然相等。
ab,則acbc
例:
ab,則a7b7

等量減法公理相等的兩數,分別減去同一個數,其差仍然相等。
ab,則acbc
例:
ab,則a11b11

等量乘法公理相等的兩數,同時乘以同一個數,其積仍然相等。
ab,則a×cb×c
例:ab,則a×(5)b×(5)

等量除法公理:相等的兩數,同時除以同一個不為零的數,其商仍然相等。即若ab,則a÷cb÷c (此時c0)。
例:ab,則a÷(1.3)b÷(1.3)

 

範例6

JC94-2C-2-8

如上圖,孟澤在天平左邊的秤盤上放相同的圓柱3個、相同的圓錐3個;右邊秤盤則放相同的正方體3個及與左邊秤盤相同的圓錐6個,此時天平呈平衡狀態,則:

(1)若天平左邊拿走3個圓錐,則右邊秤盤應保留哪些物體,才會讓天平保持平衡?為什麼?

(2)若天平左邊只剩1個圓柱,此時右邊秤盤應為何才會保持平衡? 為什麼?

解:

(1)右邊保留圓錐3個、正方體3個由等量減法公理得知左、右兩邊同時減3個圓錐仍保持平衡

 

 

(2)右邊應為1個圓錐、1個正方體由等量除法公理得知左、右兩邊同時除以3,仍保持平衡

      

  

練習6

ES020118

品靜在天平的左邊放6顆相同的黑色彈珠,右邊放8顆相同的白色彈珠,此時天平保持衡,則:

(1)4顆白色彈珠的重量等於多少顆黑色彈珠的重量?為什麼?

(2)9顆黑色彈珠的重量等於多少顆白色彈珠的重量?為什麼?

(3)1顆黑色彈珠的重量是200,則1顆白色彈珠的重量為多少克?

解:

 

範例7

利用等量公理解下列各一元一次方程式:

(1)x921   (2)x2540   (3)5x3x8

解:

(1)x921
x
99219  (等號兩邊同時減9
x
12

(2)x2540
x
25254025(等號兩邊同時加25
x
65

(3)5x3x8
5x
3x3x83x(等號兩邊同時減3x
2x
=-8
x
=-4       (等號兩邊同時除以2

練習7

利用等量公理解下列各一元一次方程式:

(1) 3x11=-22   (2) x=-2   (3) x=-55

解:

 

探索三:移項法則

移項法則:一個數a從方程式等號的一邊移至另一邊,應遵守下列原則:
(1)xab xba 
(2) x
ab
xba
(3)ax
b
xb÷a a≠0
(4)
xb xb×a  a≠0

解一元一次方程式的步驟

(1)整理方程式:先去括號再移項,使等號的一邊含有未知數,而另一邊不含未知數。

(2)化簡:將等號的兩邊整理成axb的形式

(3)x:等號左右兩邊同除以a(a0),即可得不等式的解。

一般而言,我們在解一元一次方程式時,會將含有x的項放左邊,數字放右邊,等號放中間。若碰到方程式的係數為分數,往往會將方程式的係數化成整數後再求解。

 

範例8

利用移項法則解下列各一元一次方程式:

(1)7x55265         (2)8x40x7   

(3)3x722x28

解:

(1)7x55265
7x
26555  
    (將+55移到右邊)
7x
210
x
210÷730      
 (將×7移到右邊)

(2)8x40x7
8x
x740       (將-40移到右邊)
8xx33
7x
33             (將+x移到左邊)
x
             (將×7移到右邊)

(3)3x722x28
3x2x2872    (將-72移到右邊)
即-3x2x100
5x100          (將+2x移到左邊)
x
100÷(-5=-20 
 (將×(5)移到右邊)

練習8

利用移項法則解下列各一元一次方程式:

(1)11x40=-26         (2)9x233x85

(3)17x72=-2x12

解:

 

範例9

解下列各一元一次方程式:

(1)394x=-(8x9)    (2)2(x7)155(x4)

解:

(1)394x=-(8x9)
394x=-8x9

4x8x=-939

12x=-48

x=-4

(2)2(x7)155(x4)
2x
14155x20
2x
15x20
2x
5x=-201
3x=-21  
 x7

練習9

解下列各一元一次方程式:

(1)8(93x)4x(x36)  
(2)
6(x11)53(x4)34

解:

 

範例10

解下列各一元一次方程式:

(1) (x3) x3       
(2) x
5 x2(x7)2

解:

(1) (x3) x3
99
× (x3) 99× x99×3  (左右兩邊各項同乘以99)
11(x
3)9x297
11x
339x297
11x
9x29733
2x
330 
x165

(2) x5 x2(x7)2
16
× x16×516× x16×2(x7)16×2(各項同乘以16)
7x
8036x32x22432
43x
8032x256
43x
32x=-25680
11x
=-176
x
=-16

練習10

解下列各一元一次方程式:

(1) (2x ) (x4)3     
(2) x
32(x6)

解:

 

探索四:一元一次方程式的應用問題

方程式的應用:依實際情境所列出的一元一次方程式,可解決日常生活中的問題,其解題步驟為:

1.了解問題:確定解題方向。

2.設未知數:依題意設未知數,通常以x表示。

3.聯立方程式:依題意將相關數量列成一元一次方程式

4.聯立方程式:利用適當的方法,求出未知數的値。

5.驗算:確定解得的値必須符合題意,不合者需去掉。

 

範例11

文字方塊: 項目              單價

山泉水      25元/公升(平日)
            ?元/公升(特價)
水桶          15元/個 
(容量6公升)

南投某地區山泉水量販店,為招攬客戶每逢假日以特價出售,如右圖。子敬假日到此地區遊玩,用販賣的水桶裝18公升的山泉水回家飲用,結帳時,老闆說適逢週年慶,再將總價打八折,最後共花了324元,則山泉水的特價每公升為多少元?

解:

設特價時每公升為x

水桶需買18÷63(個)

(18x15×3)×0.8324       (列式)

18x45405               (左、右同時÷0.8)

18x360                   (將+45移到右邊)

x20            

答:每公升20

練習11

建宏書店印製有面額伍佰元、貳佰元及壹佰元的圖書禮券。淑梅3張伍佰元、x張貳佰元及若干張壹佰元的圖書禮券,已知她共花了19張禮券,恰好可買一套4000元的百科全書,則:

(1)請依題意列出一元一次方程式。

(2)貳佰元及壹佰元的禮券各有多少張?

解:

 

範例12

197同時加上一個數後,兩個新數會互為相反數,則所加的數為多少?

解:

設所加的數為x,則兩個新數為[(19)x](7x)

可列式   [(19)x](7x)0
2x
120
2x
12,故x6

練習12

惠杉寫出三個連續的偶數,其和為96,若此時最小的偶數為a怡安寫出三個連續的奇數,其和為123,已知最大的奇數為b;則ab之值為何?

解:

 

PART 2:學習檢測站

  1.偉柏廷彥到大賣場購買相同的帽子與T恤,若偉柏4頂帽子與7T恤;廷彥則買20頂帽子,且兩人的花費相同。已知1頂帽子為35元,1T恤為x元,則依題意可列式為何?     (A)4x24520x   (B)1407x700ˉ
(C)4x
14020x   (D)4x7x700

  2.承上題,利用等量公理,可解得每件T恤的價格為多少元?
(A) 55
  (B) 60元ˉ(C) 70元 ˉ(D) 80元。

 3.x=-9是下列哪一個方程式的解? 
(A)
9x
1   (B)2x220  
(C)3
x90    (D) x60

 4.義工媽媽將一袋氣球分給參加同樂會的小朋友,若每人分3個,會多出14個;若每人分5個,則不夠6個,假設小朋友有y人,則有關計算y的過程在哪一個步驟開始發生錯誤
(A)
步驟一:列式得3y145y6
(B)
步驟二:3y5y=-614 
(C)
步驟三:-2y=-22ˉ  
(D)
步驟四:y11

 5.7x=-3x,則x之值為何 
(A)
任意數
  (B) 無解   (C)10   (D)0

 6.abc表任意整數,則下列有幾個選項是正確的?
甲:若3a2b,則3a3c2b3c
乙: 若
abac,則bc    
丙:a÷cb÷c,則ab   
丁:若4a2b3c2b,則4a3c
(A)4
  (B)3  (C)2   (D)1個。

 7.余榮想解方程式1157y111,請問下列何者是正確的解法?   (A)y(115111)÷7   (B)y(115111)×7
(C) y
(111115)÷7     (D) y(111115) 7

 8.已知M9x5N=-3x7,若4M=-3N26,則x=?
(A)
  (B)   (C) 1  (D) 1

  9.5x1054x)+9424,可得x=?
(A) 16
   (B) 20    (C)25     (D)32

  10.下表為拍立得照相館的價目表,今逢週年慶,底片沖洗費打八折、照片沖洗費打七五折。若志楷帶了一卷底片去沖洗規格(4×6)的照片若干張,打折後共付144元。請問志楷洗了多少張照片?
 
文字方塊:    價目表
項目	費用
底片沖洗費	60元/卷
規格(4×6)
照片沖洗費	4元/張

 
(A)30  (B)32  (C)33  (D)34
張。

  11.九九五捐血中心十月的捐血人數比九月增加50人,其中男性人數十月比九月增加 ,女性人數十月比九月減少 。已知九月的捐血人數為4950人,則十月份捐血的男生人數有多少人? (A)3000  (B)2700  (C)2400   (D)2250

 

二、填充題:

1.7x8=-2x10,利用等量公理可得x         

2.若(3x18)與(-24x102)互為相反數,則x之值為      

3.已知三個連續偶數的和為72,則此三數為        

4.m11的數是6,則比m的平方少5的數為         

5.有一個三角形,已知底為高的4倍,若底為y公分,則高為         公分,此三角形的面積可用y表示為             平方公分,若面積為8平方公分,可列式為:                   

6.如下圖,言宣在天平的左邊放3個等重的彈珠,每顆x公克;右邊放2個正方體積木,每個12公克,若天平左右兩邊保持平衡,則每一個彈珠重           公克。
ES020110

7.2xy|=6,若x4,則y            

8.703班共28人舉辦聖誕晚會,其中餐費花掉x元,飲料費用680元,聖誕飾物費用為980元,除此之外無其他花費,若每人應分攤230元,則利用等量公理可求得餐費為            元 。

9.一元一次方程式-8x52=-3x12,可得xK,則K的標準分解式為              

10.解一元一次方程式 ,可得x             

11.發哥原有y元,他先用去 8本筆記本,再用去原有錢的 6個立可帶,最後剩下760元,請問一個立可帶的價格為         元。

12.子傑想在下圖的方格中填入適當的數字,使得每行、每列以及對角線上的數字和是相同的,則a的值為        

 

6

 

3

2

 

5

 

 

a

 

 

 

 

 

13.解一元一次方程式3x[2x4(2x6)5]810,可得x             

 

PART 3:高手競技場

閱讀下列敘述,並回答1-2題:

    校慶時,念庭參加2000公尺賽跑,前500公尺每百公尺需13秒,500~900公尺每百公尺需16秒,900~1200公尺每百公尺需20秒,1200~1650公尺每百公尺需x秒,1650~2000公尺每百公尺需30秒。

 

  1.念庭跑完2000公尺共花411秒,則依題意可列式為何?
(A) 131620x30411
(B) 13
×516×420×3x×4.530×4.5411
(C) 13
×516×420×3x×430×4411
(D) 13
×516×420×3x×4.530×3.5411

  2.承上題,利用等量公理可求得念庭1200~1650公尺,每百公尺需多少秒?
(A) 22
  (B) 24  (C)26 (D) 28秒。

 3.已知榮恩妙麗哈利三人,任意兩人的體重和分別為111公斤、102公斤117公斤,則三人體重中,最重的和最輕的相差多少公斤? (A) 8  (B) 10  (C)13  (D)15  公斤

 4.x=-9是方程式(4ax23)3(ax1)4a的解,則a之值為何?  (A) 2  (B) 1  (C)0   (D)4

  5. ,則d的最大質因數為何? 

(A) 23   (B) 41  (C) 43   (D)47

  6.淑梅解出方程式 的正確解為-5後,卻不慎將方程式中的某數弄髒了,請問被弄髒的數(即*)為多少?
(A)    (B)    (C)    (D)

( )7.某次數學段考國安考了x分,已知此分數的 減去它的 ,結果比x 19,則x為多少? 
(A)56   (B) 60   (C)88   (D)92

 

PART 4:資源補給庫

一、數學趣聞

古代的人為了便於記憶與學習,常常將一些算題編寫成非常有趣的歌詞古體。例如明朝數學家程大位,在六十歲那年,完成了一部數學巨著<<直指算法統宗>>,這本書是一部流傳很廣的數學通俗讀物,它以有趣的民間歌謠形式呈現數學題目,結合文學與數學的精華,除了讓我們能體會詩詞意境之美,也能獲得解題的樂趣。以下將列舉兩道算題並稍作簡釋:

※算題一:李三客店

我問開店李三公,眾客都來到店中,

一房七客多七客,一房九客一房空(即少九)。

想想看,李三公有幾間房?有幾個客人?

 

※算題二:隔牆分銀

隔牆聽得客分銀,不知人數不知銀,

七兩分之多四兩九兩分之少半斤。

從此算題中,你是否知道銀有幾兩?客有幾人?

 

二、小小神猜手

志玲老師在數學課玩遊戲,她請阿明在心裡任意想一個數,將它加上7,再乘以4,把結果告訴阿倫,然後阿倫再把聽到的數減3,再乘以6,得到另一個數。

1.已知阿明心裡想的數是13,則最後阿倫的答案應該是多少?

2.同樣的遊戲他們再玩一次,若這次阿明心裡想的數為x,而阿倫最後的答案為726,則x=?

 

 

參考資料:

土井一弘(民91)。伊可爾王子數學冒險記。台北:國際村。

李國賢(民93)。趣味數學國中數學遊戲篇。台北:新潮社。

張遠南和張昶譯(民92)。原來數學這麼有趣。台北:世茂。

潘有發(民89)。趣味歌詞古體算題選。台北:九章。

潘有發(民89)。趣味歌詞古體算題選。台北:九章。

蔣聲和陳瑞琛(民91)。趣味算術考腦筋。香港:智能教育。

蔣聲和陳瑞琛(民91)。趣味代數考腦筋。香港:智能教育。

蔣聲和陳瑞琛(民91)。趣味代數再闖關。香港:智能教育。

 

 

 

 

本單元參考解答

PART 1:主題探索窗參考答案:

練習1(B)(C)為一元一次方程式
說明:(A)為二元一次方程式

(B)化簡後得14y0
(C)
化簡後得-4y7

練習24x3(x25)285

練習3:-29y34y

練習4y表示買阿給的人數

練習5ABC均是x=-4代入各方程式:
(A)左=(-4)×(-4)=16,右=16,故是方程式的解
(B)左=8×(4)5=-37,右=-37,故是方程式的解
(C)
左=
×(4)7=-6,右=-6,故是方程式的解

練習6(1)8顆白色彈珠=6顆黑色彈珠
4顆白色彈珠=3顆黑色彈珠
(等量除法公理,左、右同÷2

(2)(1)3顆黑色彈珠=4顆白色彈珠
9顆黑色彈珠=12顆白色彈珠
(等量乘法公理,左、右同×3仍相等)

(3)左=200×61200()=右
1顆白色彈珠重1200÷8150(克)

練習7(1)3x11=-22
3x
1111=-2211 (等號兩邊同時減11
3x
=-33
x
=-11         
     (等號兩邊同時除以3

(2) x=-2
(
x)×4(2)×4     (等號兩邊同時乘以4
x
=-8

(3) x=-55
(
x)×3(55)×3   (等號兩邊同時乘以3
11x=-165
x
15        [等號兩邊同時除以(-11]

練習8(1)x=-6  (2)x9   (3) x

練習9(1)8(93x)4x(x36)
72
24x4xx36
72
24x3x36
24x3x=-3672
27x=-108 
x4 

(2)6(x11)53(x4)34
6x6653x1234
6x713x46
6x3x=-4671
9x=-117 
 x13

練習10

(1) (2x ) (x4)3
14
× (2x )14× (x4)14×3 
(
各項同乘以14)
4(2x
)5(x4)42
8x
25x2042
8x
5x222
3x
24
x8

(2) x32(x6)
15
× x15×315×2(x6)15×  
(
各項同乘以15)
12x
4530x180x20
42x
225x20
42x
x=-20225
41x
205 
x5

練習11

(1)3×500200x100193x)=4000

(2)解方程式得
1500
200x1600100x4000
100x
31004000
100x
900
 x9  
19
937
貳佰元有9張;壹佰元有7

練習12

設三偶數是aa2a4;設三奇數是b4b2b
三連續偶數和96,故a(a2)(a4)96
3a696a30
三連續奇數和123,故(b4)(b2)b123
3b6123
3b
129
b
43
ab304373
答:73

 

PART 2學習檢測站參考答案:

一、選擇題

1.B     2.D    3.D     4.C    5.D   
6.B     7.A    8.D     9.C    10.B    11.A      

詳解:

1.依題意4×357x20×35,即1407x700

2.1407x7007x7001407x560x80

3.(A)x=-  (B)x9  (C)x=-3   (D)x=-9

4.2y=-20y10

5.7x3x010x0x0

6.(B)a0,則b不一定等於c

8.49x5)=-3(-3x7)-26
36x209x2126
27x=-27x=-1

9.5x54010x9424
5x549424,-5x=-125x25

10.志楷洗了x張照片
60
×0.8(4x)×0.75144
48
3x1443x96x32

11.設九月捐血男生有x人,則女生有(4950x)人
又十月男生比九月增加 ,故增加 x
十月女生比九月減少 ,故減少 (4950x)人,
人數共增加50
x (4950x)50
x
4950x450
2x
5400x2700,故十月男生有2700× 3000

 

二填充題:

1. 2   2. 4    3. 222426   4.  20  

5. y2y2y2=8

6. 8    7. 2或14

8. 4780  9. 23  10. 5   11. 40    12.3    13. 3

 

詳解

1.7x88=-2x108
7x=-2x18
7x
2x=-2x182x
9x18x2

2.3x18)+(-24x102)=0
21x840 x
4

3.設此三數為x2xx2
(x
2)x(x2)723x72x24
故此三數為222426

4.m116m=-5,故m2525520

5.高為 y,面積=底×高÷2y×(y)× y2

面積為8平方公分,可列式為y2=8

6. 3x12×2x8

7.8y|=68y68y=-6y214

8.x680980)÷28230
x
1660230×286440
x
644016604780

9.5x=-40x823

10.同乘以6可得
183(x7)2(11x)
18
3x21222x
3x
3222x5x25x5

11. y y760y
5y
6y760×3030y  19y760×30
y
1200 ,故 y240240÷640
(元)

12.每一列、行及對角線之和均為3(5)aa2
正中央一格為(a2)2(5)a1
aa1+(-6)=a2
2a
5a2a3

6

 

3

2

a1

5

 

 

a

 

 

 

 

13. 3x[2x8x245]810
3x
-(-6x29)+810
3x
6x29810
9x
=-27x=-3

 

PART 3:高手競技場參考答案:

1.D     2. C    3.D     4.A    5.B    6.B    7.C

詳解:

2.13×516×420×3x×4.530×3.5411
6564604.5x105411
2944.5x4114.5x117 x26

3.設三人的體重分別為ABC公斤
A
B111
B
C102
C
A117
三式相加後除以2ABC165
C54A63B48634815

4.x=-9 代入(4ax23)3(ax1)4a
36a233(-9a1)=4a
36a2327a34a
9a264a;-13a26a=-2

5.
d123 最大質因數為41

6.7(2x7)4(3x+*)
7
×(-17)=4×(-15+*)
119=-604*;-594*;*=-

7.設某數x x x x19
11x8x22x1672,-19x=-1672x88

 

PART 4:資源補給庫參考答案:

一、數學趣聞

※李三客店

解:

設房間x

一房七客多七客,故人數有(7x9)

一房九客一房空,故人數有9(x1)

(7x9)9(x1)

7x99x9

2x=-18

x9(間)  9×(91)=9×872(人)

答:有9間房、72位客人

 

※隔牆分銀

解:

設客有x

7x49x8  (半斤即八兩

2x=-12

x6(人)

7×6446(兩)

答:6位客人、46

二、小小神猜手

1.6×[4 (137)3]6×77462

答:阿倫的答案應為462

2.6×[4 (x7)3]726
4 (x
7)3121
4x
283121
4x
96
x24

答:x24

創用CC標示:
CC