第四冊 主題四 平行與四邊形

4-1 平行

PART 1:主題探索窗

 

探索一、平行線的意義

在同一個平面上,我們隨手畫出兩條不同的直線,總共可以畫出幾種不同的情況呢?答案不多,就只有下列兩種。

 

第一種:相交一點的兩直線

第二種:永不相交的兩直線,也可以稱為兩直線平行。

還記得嗎?在小學的時候,平行的兩直線,就是永遠不會相交的兩直線,當然我們所說的是在同一平面上,不同的兩條直線。

除此之外,同學們還記得其他有關平行的說法嗎?我們先複習一下。

還有

(1)若兩條不同的直線同時垂直於同一直線,則我們稱這兩條不同的直線平行。
如下圖,如果直線
L1直線L,而且直線L2直線L,我們稱直線L1與直線L2平行。記為「L1 // L2

如果我們再畫一條同時垂直L1L2的直線M,同學應該能看到,形成了我們很熟悉的長方形了。同學們可以看看自己的桌面(延長後),是不是很像這個圖形呢?

有了這個圖形的協助與長方形桌面的生活經驗,我們很容易可以體會到,

(2)兩平行線的距離處處相等,就猶如長方形桌面的寬等長。如果我們對相交一點的兩直線,作垂直線又會如何呢?
可能的情況有:

(1)先作直線L直線L1,延長直線L

(2)先作直線L直線L2,延長直線L

所以,在同一平面上,不同兩條直線,若是相交於一點(在我們的討論範圍內,也可乾脆說不平行的兩直線),則我們無法找到一直線同時垂直相交一點的兩直線。而另一種情況,也就是兩條直線平行的時候,是可以辦到的。

綜合起來說,只有兩條平行的直線,才能找到同時垂直它們的直線。

 

範例1

請檢查下列直線是否平行?

(1)

(2)

解:

(1)稍微延長即可發現,這是相交一點的兩直線,所以不平行。

(2)在視覺上,似乎不平行,不過如果我們利用延長的方式,會發現紙張似乎不夠,因為不會馬上相交,交點會離得比較遠。我們可以檢查兩線間的距離是否等長,請看。

 

所以,在下面這樣的圖中,直線L的功能,其實就像是一把〝工具〞,用來協助我們判斷直線L1L2是否平行,而不需要一直延長。因為當兩直線〝幾乎〞平行時,視覺上可能無法判定,而延長又有點不切實際。所以,我們通常採用加入直線L的方式,然後透過研究它們之間所形成的角之間的關係來判斷直線L1L2平行與否?在國中階段,我們以更大膽的方式~「隨意」加入第三條直線,也就是添加的直線L未必要與直線L1L2垂直。

 

探索二、截線與截角

為了日後的溝通方便,我們分別給了一些名詞。

如下圖,直線L1與直線L2被直線L所截,我們稱直線L為截線。而直線L與直線L1截出4個角,∠1、∠2、∠3、∠4;直線L與直線L2也截出4個角,∠5、∠6、∠7、∠8;這8個角,我們稱為截角。

為了研究直線L與直線L1所形成的截角(1、∠2、∠3、∠4)與直線L與直線L2所形成的截角(5、∠6、∠7、∠8),這兩組截角的關係,我們先依照它們彼此之間的相關位置,分成下列三類。

同位角∠1、∠2、∠3、∠4中,位置在截線L的左邊,直線L1的上方(左上方)的是∠1;而∠5、∠6、∠7、∠8中,位置在截線L的左邊,直線L2的上方(左上方)的是∠5像這樣相對位置同樣在左上方的角有1、∠5,我們稱∠1、∠5是一組同位角。

 

依此類推,因為∠2、∠6的相對位置同樣在右上方,所以2、∠6也是一組同位角。

 

因為∠3、∠7的相對位置同樣在左下方,所以∠3、∠7也是一組同位角。

因為4、∠8的相對位置同樣在右下方,所以∠4、∠8也是一組同位角。

 

因此,同位角總共有4組,分別是1、∠52、∠63、∠74、∠8;要再次提醒同學的是,同位角是依照相對位置來分組的。

8個角當中,

3、∠4、∠5、∠64個角,因為位置在直線L1與直線L2兩線之間的內側,所以稱為〝內角〞。

而其中像∠3、∠5這一組〝內角〞,因為都位在截線L的同一側(左側),所以我們稱∠3、∠5是一組同側內角。

同理,像∠4、∠6這一組〝內角〞,因為都位在截線L的同一側(右側),所以我們稱∠4、∠6也是一組同側內角。

最後我們介紹內錯角像∠3、∠6這一組〝內角〞,因為交錯在截線L的兩邊,所以我們稱∠3、∠6是一組交錯的內角,簡稱為內錯角。

同理,4、∠5是另外一組內錯角。

當直線L1//直線L2時,這些截角的名稱還是相同。

同位角一樣有4組為:1、∠52、∠63、∠74、∠8

同側內角有2組:3、∠54、∠6

內錯角有2組:3、∠64、∠5

 

範例2

如下圖,請問

(1)同位角有哪4組?

(2)同側內角有哪2組?

(3)內錯角有哪2組?

 

 

 

解:

(1)同位角有4組:1、∠52、∠63、∠74、∠8

(2)同側內角有2組:3、∠54、∠6

(3)內錯角有2組:3、∠64、∠5

練習2.

如下圖,請寫出

(1)同位角有4

1、∠5       

               

 

(2)同側內角有2組:3、∠5       

(3)內錯角有2組:3、∠6       

 

探索三、平行線的性質

接下來,我們來比較平行與不平行時,同位角有何不同?

 

範例3

如下圖,直線L1與直線L2被直線L所截,∠1、∠2是其中一組同位角。請使用適當的方式比較∠1、∠2的大小關係。

解:

第一種方法:看起來,∠1>∠2

第二種方法:我們使用量角器,直接量出∠180°、∠255°所以∠1>∠2。這樣的結果與視覺上的感覺一致。

第三種方法:我們可以將∠2剪下來,然後與∠1比較。(不過這樣做,會破壞課本。)

第四種方法:有一種比較〝文明〞的方式,利用等角作圖。這種感覺,好像將∠2往上平移到A點,而虛線就是直線L2往上平移到A點所得到的。

 

 

第五種方法:延長直線L1L2,交於C

得到1是△ABC的外角所以∠1=∠2+∠3

因為∠3 所以∠1>∠2

 

在上面的範例3.中,我們得到∠1>∠2。我們既然探索

「∠1比∠2大幾度?」

使用量角器,我們得到∠180°、∠255°,所以∠1比∠2大約多出25°。如果我們進一步量出∠325°,這樣的結果與外角定理吻合。如果我們要〝精準〞得回答「∠1比∠2大幾度?」我想目前最好的答案,就寫∠3吧!換句話說∠1-∠2=∠3

從「∠1-∠2=∠3」這個式子來看,在什麼時候「∠1=∠2」呢?答案很明顯,只有當∠30°時。問題是「∠30°」在原來的圖形中代表什麼意義呢?我們先回想一下,∠3是怎麼產生的?沒錯!延長直線L1L2所形成的交角,當直線L1L2相交一點時,∠30°;

只有當直線L1L2永不相交時,∠3才會等於0°。

這樣的結果,實在令人振奮,因為我們等於回答了,直線L1與直線L2被直線L所截,∠1、∠2是其中一組同位角。

當直線L1L2相交於一點時(L1L2不平行),則同位角∠1≠∠2

只有當直線L1L2永不相交時(L1L2平行),同位角∠1、∠2才會相等。

這樣的結果,其實與我們的視覺上的感覺是吻合的,請看。

當直線L1L2不平行(相交一點)
則同位角∠1≠∠2

當直線L1L2平行(永不相交)
則同位角∠1=∠2

 

練習3-1.

承範例3.,請問其他3組同位角的大小關係又如何呢?

解:請閱讀下面過程並完成空格從範例3.可知∠1>∠2
因為∠3=∠1、∠4=∠2 (對頂角相等)
所以∠3      4 (請填入>、=或<)
因為∠5180°-∠1且∠6180°-∠2 (平角為180°)
所以∠5      6 (請填入>、=或<)
因為∠7180°-∠1 8180°-∠2 (平角為180°)
所以∠7      8 (請填入>、=或<)

 

從上面的討論,發現若有一組同位角不相等,則其他三組同位角也不相等,而且大小關係,深受第一組同位角的大小關係控制。

 

 

練習3-2.

如下圖,若同位角∠1=∠2,則其他三組同位角的大小關係又如何呢?

 

解:請閱讀下面過程並完成空格
因為∠3=∠1、∠4=∠2(對頂角相等而且∠1=∠2(假設)
所以∠3      4 (請填入>、=或<)
因為∠5180°-∠1且∠6180°-∠2 (平角為180°)
所以∠5      6(請填入>、=或<)
因為∠7180°-∠1且∠8180°-∠2(平角為180°)
所以∠7      8 (請填入>、=或<)

 

從上面的討論,發現若有一組同位角相等,則其他三組同位角也都會相等。

下面我們使用一種比較正式的方式來說明,兩平行線被一直線所截,則同位角相等。

 

範例4

如下圖,直線L1L2被直線L所截,已知 L1//L2,請說明同位角相等。(即∠1=∠2)

解:

在截線L上任找一點P
P點作直線M直線L1

因為L1//L2
所以直線
M也會垂直直線L2

在△APQ中,∠1+∠APQ90°

在△BPR中,∠2+∠BPR90°

得到∠1+∠APQ=∠2+∠BPR

所以∠1=∠2
(
因為∠APQ=∠BPR(公共角))

 

當然,從前面的討論,得知此時其他3組同位角也分別對應相等。

練習4-1.

如圖,直線L1L2被直線L所截,已知 L1//L2,∠155°

請問

2     度,∠3    

4     度,∠5    

6     度,∠7    

8    

 

我們發現,

當∠1=∠255°

,其他3組同位角真的都對應相等

3=∠455°

5=∠6125°

7=∠8125°

 

 

 

我們同時也很關心,同側內角、內錯角分別又會如何?

請看(當同位角∠1=∠255°時)

同側內角

255°、∠7125°  (2+∠7180°)

355°、∠6125°  (3+∠6180°)

內錯角

255°、∠355° (2=∠3)

6125°、∠7125° (6=∠7)

發現了嗎?當同位角相等時,此時同側內角互補,內錯角相等。

 

我們來看看,當同位角不相等時,同側內角,內錯角會如何?

練習4-2.

如下圖,直線L1L2被直線L所截,而且直線L1L2會相交於一點(不平行)

已知∠180°,∠255°請分別求出

3     度,∠4     度,∠5    

6     度,∠7     度,∠8    

 

我們發現,當∠180° 255°,其他3

同位角也都不相等

380° 455°

5100° 6125°

7100° 8125°

同側內角

255°、∠7100°  (2+∠7155°<180°)

380°、∠6125°  (3+∠6205°>180°)

內錯角

255°、∠380° (2≠∠3)

6125°、∠7100° (6≠∠7)

 

從上面的練習,我們發現

兩平行線被一直線所截,則同位角相等;此時同側內角互補而且內錯角相等。

兩相交一點的直線被一直線所截,則同位角不相等;此時同側內角不互補而且內錯角也不相等。

 

範例5

如下圖,直線L1L2被直線L所截,已知 L1//L2,請說明同側內角互補。

(即∠2+∠7180°且∠3+∠6180°)

 

解:

在截線L上任找一點P

P點作直線M直線L1

因為L1//L2,所以直線M

也會垂直直線L2

在四邊形ABRQ

2+∠790°+90°=180°

得到∠2+∠7180°

又∠3180°-∠7
 ∠
6180°-∠2
(
平角為180°)

所以∠3+∠6(180°-∠7)(180°-∠2)
360°-(2+∠7)
180°

 

另解:

因為L1//L2,所以同位角相等,

即∠1=∠2

又∠1+∠7180°(平角180°)

所以∠2+∠7180°

又∠1=∠3(對頂角相等)

且∠1=∠2

所以∠2=∠3

3+∠6=∠2+∠6180°

 

 

練習5.

如圖,直線L1L2被直線L所截,已知 L1//L2,請說明內錯角相等。

(即∠2=∠3且∠6=∠7)

 

 

解:請閱讀下面過程

因為L1//L2

所以同位角相等,

即∠1=∠2

又∠1=∠3(對頂角相等)

所以∠2=∠3
6180°-∠2
7180°-∠1

又∠1=∠2

所以∠6=∠7

 

從上面的討論過程,我們不但確認了

兩平行線被一直線所截,則

(1)同位角相等;

(2)同側內角互補;

(3)內錯角相等

 

而且我們還發現了

在解題的過程之中,若能適當地利用一些記號,例如將已知的角度標示上去或是將相等的角作上相同的記號……等等。將有助於我們發現更多且正確的結論,同時也較能注意到不容易想到的細節,而更順利地完成解題的工作。

 

探索四、平行線的判別性質

我們知道在同一平面上,不同兩直線若永不相交,就是兩條平行線。

但是除非一眼就能看出了兩直線相交,或是稍微延長就會相交,否則我們很難用「永不相交」來判定兩條直線是否平行?

那麼,當我們要確認在同一平面上,不同兩直線是否平行的時候?有哪些較方便且具體可行的方法可以使用呢?

 

第一種方法(小學時所使用的)

我們想起平行線的另外一個意義,在同一平面上,不同兩直線如果可以找到一條共同的垂直線,則我們稱這兩條直線平行。

 

第二種方法(任意畫出一條截線,檢查同位角是否相等?)

從前面的討論,我們知道兩直線被一線所截,只有當兩直線永不相交時,同位角才會相等。換句話說,兩直線被一線所截,當同位角相等時,兩直線平行。

 

下面我們將說明這兩種方法之間的關係

 

範例6

如下圖,直線L1與直線L2被直線L所截,已知同位角相等,請問可以找到直線M同時垂直直線L1與直線L2嗎?

 

解:

在截線L上任找一點P

P點作直線M直線L1

所以∠AQP90°

延長直線M,目標是說明

「∠3=?」

在△APQ中,∠1+∠APQ90°

在△BPR中,∠2+∠BPR+∠3180°

因為∠APQ=∠BPR

(公共角)、∠1=∠2(已知)

得到∠1+∠APQ=∠2+∠BPR90°

所以(2+∠BPR)+∠3180°

因此∠390°,即直線M直線L2

也就是說,可找到直線M同時垂直直線L1L2,即L1//L2

我們接下來要探索,還有沒有其他的方法?

 

當然我們可能會想到先嘗試看看,前面所探討過的平行線性質,還有另外兩個,如下:

(1)若兩平行線被一直線所截,則同側內角互補。

(2)若兩平行線被一直線所截,則內錯角相等。

 

但是我們明白,若「甲事件」會造成「A現象」,並非代表當發現「A現象」時,就一定發生了「甲事件」。

例如:當「天正在下雨」時,則「路面會溼溼的」。但是當「路面溼溼」的時候,並非表示現在「天正在下雨」,主要原因是「路面會溼」有可能是別的因素所造成的,必須要有更多的線索來佐證才能作確認。

所以,當兩直線被一線所截,若「同側內角互補」或是「內錯角相等」時,我們也不能貿然說兩直線平行,必須有適當的檢驗。

 

範例7

當兩直線被一直線所截,若同側內角互補時,則兩直線的位置關係如何?

 

解:

如下圖,因為我們還不知道「同側內角互補」時,兩直線是否會平行?所以,我們先〝亂〞畫出兩直線的位置關係,再將已知條件標示上去。

 

因為∠3+∠6180° (已知)

又∠2+∠6180° (平角180°)

所以∠2=∠3

又∠1=∠3 (對頂角相等)

所以∠1=∠2 (同位角相等)

得到L1//L2

 

因此,由「同側內角互補」,可以推論出「同位角相等」;而由同位角相等,可知L1// L2。換句話說,當兩直線被一直線所截,若同側內角互補時,則兩直線平行。

 

範例8

當兩直線被一直線所截,若內錯角相等時,則兩直線的位置關係如何?

解:

如下圖,因為我們還不知道「內錯角相等」時,兩直線是否會平行?

所以,我們先〝亂〞畫出兩直線的位置關係,再將已知條件標示上去

因為∠2=∠3(已知)

又∠1=∠3 (對頂角相等)

所以∠2=∠3

所以∠1=∠2 (同位角相等)

得到L1//L2

 

因此,由「內錯角相等」,可以推論出「同位角相等」;而由同位角相等,可知L1// L2。換句話說,當兩直線被一直線所截,若內錯角相等時,則兩直線平行。

 

至此,我們將可以用來判斷兩直線L1L2是否平行的方法整理如下:

(1)檢查「可否找到一直線同時垂直L1L2(這是最根本的方法)

(2)檢查「任意畫出一條截線,檢查同位角是否相等?」

(3)檢查「任意畫出一條截線,檢查同側內角是否互補?」

(4)檢查「任意畫出一條截線,檢查內錯角是否相等?」

 

我們還是想問,到底還有沒有其他的方法?

理論上,只要根據所給的條件最後能證明出「能找到一直線同時垂直L1L2」就是,就是一種能用來兩直線L1L2是否平行的方法。所以,方法應該還有很多。不過,你大概也能體會到,能否寫出更多的方法並不那麼重要,重要的是我們是否有能力去證實一種新方法是否真的正確?才是我們學習數學的重點。

 

 

PART 2:學習檢測站

1.( )如下圖,ABC面積為8平方單位,DBC面積也為8平方單位,
DBC=CAD=,則AED=

(A) (B) (C) (D) 

 

2.( )阿康阿雍阿乾阿嘉討論一題數學問題:如圖所示,已知直線T為直線L1L2的截線,試討論1234之間的關係。

文字方塊: 阿康說:∠1和∠3是同側內角,所以相等!
阿雍說:∠2和∠3是內錯角,所以互補!
阿乾說:∠2和∠4是同位角,所以相等!
阿嘉說:∠3和∠4是對頂角,所以相等!
請問誰說的話是一定對的?
(A)阿康 (B)阿雍 (C)阿乾 (D)阿嘉

 

3.( )如下圖,直線L1L2被直線L所截,截角∠161°,∠260°。
請問下列有關直線
L1L2的敘述,何者正確?

(註:本題的圖形僅供參考,不代表實際狀況。)

(A)直線L1L2會相交於直線L右側,而且交角(銳角)59°

(B)直線L1L2會相交於直線L右側,而且交角(銳角)1°

(C)直線L1L2會相交於直線L左側,而且交角(銳角)59°

(D)直線L1L2會相交於直線L左側,而且交角(銳角)1°

 

4.( )如下圖,在同一平面上,
請問∠A+∠B+∠C+∠D=?

(A)180° (B)270° (C)360° (D)450°

 

5.請依照指示畫出適當的圖形並回答下列問題

(1)請畫出直線L1L2被直線L所截,而且∠1、∠2是一組同側內角,已知∠1=∠255°。

(2)請畫出直線L1L2被直線L所截,而且∠1、∠2是一組同側內角,已知∠1=∠290°。

(3)( )請利用(1)&(2)所畫出來的圖形與其正確且相關的推論,判斷下列何者錯誤

(A)當同側內角∠1=∠255°時,直線L1L2會相交於一點。

(B)當同側內角∠1=∠290°時,直線L1L2會平行。

(C)若同側內角∠1=∠2125°時,直線L1L2永不相交。

(D)若同側內角相等時,直線L1L2不一定會平行。

 

 

PART 3:高手競技場

1.( )如下圖,試判斷下列對於直線L與直線M關係的敘述,何者正確?
(註:本題的圖形僅供參考,不代表實際狀況。)

(A)LM會在上圖的右方相交,交角(銳角)

(B)LM會在上圖的右方相交,交角(銳角)

(C)LM會在上圖的左方相交,交角(銳角)

(D)LM會在上圖的左方相交,交角(銳角)

 

2.( )如下圖,四邊形紙片ABCD,其中∠B120°,∠D50°。
若將其右下角向內摺出一△
PCR,直痕為直線,恰使C點落在點,而且。請問 A=?

(A)80° (B)85° (C)95° (D)110°

 

3.( )如下圖,L的截線。找出Ð1的同位角,標上Ð2,找出Ð1的同側內角,標上Ð3。下列何者為Ð1Ð2Ð3正確的位置圖?

(A)(B)(C)(D)

 

4.( )如下圖,直線L1L2被直線L所截,L1//L2。若∠180°,∠260°,直線平分∠DBC請問下列有關直線的敘述,何者正確?

(A)直線平行

(B)直線相交於一點,且交角(銳角)5°

(C)直線相交於一點,且交角(銳角)10°

(D)直線相交於一點,且交角(銳角)15°

 

5.( )如下圖,已知直線AB // 直線CD,∠1=∠4<∠2
對於甲、乙兩人的說法,下列判斷何者正確?

 

文字方塊: 甲說:「 」
乙說:「∠E=∠F」
   

 

(A)甲、乙皆正確

(B)甲、乙皆錯誤

(C)甲正確,乙錯誤

(D)甲錯誤,乙正確

 

 

PART 4:資源補給庫

再談截角

如下圖,直線L1L2被直線L所截,為了更清楚地傳達本文的目的,我們故意將直線L1與截線L所形成的截角稱為∠A、∠B、∠CD(通常會寫成∠1、∠2、∠3、∠4),並且將這四個截角稱為〝L1集團〞;而直線L2與截線L所形成的截角稱為∠5、∠6、∠7、∠8,,並且將這四個截角稱為〝L2集團〞。

我們知道這兩組截角(這兩個集團),依照位置分成3類,分別為

同位角有4組:A、∠5B、∠6C、∠7D、∠8

同側內角有2組:C、∠5D、∠6

內錯角有2組:C、∠6D、∠5

 

有沒有發現,不管是同位角、同側內角或是內錯角,都是兩個角為一組,而且一定是一個來自〝L1集團〞;另一個來自〝L2集團〞。

也就是說,這些名詞是在探討〝兩個集團〞之間的位置關係。

 

我們以〝特寫〞的方式,分別標示出各組同位角,看看圖形是否藏有什麼共同的〝規律〞。

同位角有4

A、∠5

B、∠6

C、∠7

D、∠8

 

 

看出來了嗎,同位角的〝特寫〞,都長得很像英文字母「F」。

很有趣吧!

 

接著,我們以同樣的方式,分別標示出各組同側內角,看看圖形會長得像什麼哪一個英文文字?

同側內角有2

C、∠5

D、∠6

 

咦!好神奇喔!同側內角的〝特寫〞,都長得很像英文字母「U」。

 

最後,我們再來看內錯角的〝特寫鏡頭〞。

內錯角有2

C、∠6

D、∠5

 

啀!真的好好玩!內錯角的〝特寫〞,都長得很像英文字母「Z」。

有了這些方法的輔助,以後再也不怕找這些角了,耶!

 

本單元參考答案

PART 1:主題探索窗

練習2.

(1)同位角有4組:1、∠52、∠63、∠74、∠8

(2)同側內角有2組:3、∠54、∠6

(3)內錯角有2組:3、∠64、∠5

練習3-1.

練習3-2.

練習4-1.255°、∠355°、∠455°、∠5125°、
6125°、∠7125°、∠8125°

練習4-2.380°、∠455°、∠5100°、
6125°、∠7100°、∠8125°

練習5.請閱讀下面的過程

 

PART 2:學習檢測站

1.(C) 

2.(D) 

3.(B) 

4.(C)

5.(1)

(2)

 

(3)(C)

 

 

PART 3:高手競技場

1.(D) 2.(C) 3.(B) 4.(C) 5.(A)

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CC