單元肆:功與能的定義

一、功的定義

(一)功(Work)、能量的互換:

1.定義:假設施力「F」於物體上使物體產生位移「S」,則此力對物體所作的功「W」定義如表一所示:

(1)當施力方向與位移方向相同時,此力作『正功』。

(2)若施力方向與位移方向相反時,此力作『負功』。

2.而施力方向與位移方向垂直時,此力『作功=0』。

3.功雖有正、負,但不具方向性

4.當外力對物體作正功時,代表作功使物體的總能量增加;外力對物體作負功時,代表作功使物體的總能量減少,故正功與負功並不是代表功的方向

(二)外力與位移的關係:

1.當外力F與位移S的方向不平行時,則必須求出外力F在位移方向的分力,故外力F對物體作功的計算式為

2.例如:在光滑水平面上置一物體,以與水平傾斜θ角度的外力F對物體作功(如圖一.所示),當物體移動一段離距離S時,則外力對物體作功為:

(1)如圖二所示:已知外力100牛頓與水平夾角為60°,且物體受力後在光滑平面上位移20公尺,試求外力F在水平方向的分力=?

答:夾角60°的直角三角形,其斜邊長是最短一股的兩倍,故

(2)承上題;當物體移動20公尺時,試求外力F對物體所作的功W=?
答:作功W 50 × 20 ,∴外力對物體作功=1000焦耳

 

二、功與能的轉換

(一)能量守恆與作功:

1.人體對物體施力使物體產生位移,這是必須消耗能量的,但以「能量守恆」的觀點來看,人體消耗的能量不會無故消失,而是以其他形式的能量相互轉換罷了,且能量的總和仍然是維持不變的。

2.功能定理:作功轉換為動能,若不考慮摩擦力造成的能量損失;則外力對物體【作功=動能】。(如表二)所示:

3.功與位能:作功轉換為位能,則【功=位能】。如:施力將物體提高,反抗重力對物體作功,則此外力所作的功會轉換為物體的【重力位能】(如表三)所示:

4.唯擁有能量的系統(例如:人或動力機械)能夠對物體作功,因為只有「能」才具有作功的本領,故上述外力對物體作功=F×S事實上是人體或一具有能量的系統輸出能量給物體的過程,而物體獲得這些能量後會轉變成動能或位能的形式,這便是「功」的本質。

(二)功與動能的轉換:

1.當外力對物體作功時,是將能量輸入給物體,若物體是在光滑水平面上移動,則外力作功會轉換成物體的動能

2.例:(如圖三)所示;以10kgw的水平力F作用於光滑平面上的物體,使物體由靜止開始運動,且已知物體的質量為5kg,試回答下問題:(重力加速度g=9.8m/s)

(1)當物體向右移動10公尺時,外力對物體作功等於多少?
答:
F10×9.8F98N,∴作功98×10
外力作功980J

(2)當物體向右的位移達到10公尺時,試問物體增加的動能為若干?
答:動能是由外力作功轉換而來,又無摩擦阻力,故:
作功=動能,∴物體的動能=
980J

3.上題中若忽略摩擦阻力時,則外力對物體作功=動能,若考慮摩擦力的存在,則外力作功應修正為:

(三)功與位能的轉換:

1.由於「作功」是對受力物體輸入能量,因此物體的力學能必定會增加,若不是動能增加;就是位能增加,也有可能在某些情況會使物體的動能和位能都同時增加。

2.我們將問題簡單化,當外力對物體作功時,在動能不增加的情形下,討論位能增加的狀況。

3.在無摩擦力的狀況下,外力對物體作功且物體仍保持等速度運動時,則作功會轉換為物體的位能,亦即F×S 位能

 

三、功與機械

(一)機械與作功的關係:

1.若將機械本身視為一個系統,則外力是來自具有能量的另一個系統,當外力對物體作功時,其意義為:具有能量的系統將能量輸入至機械。

2.當機械獲得外界輸入的能量後,會再經由機械轉換至物體使物體獲得能量,故使用簡單的機械;事實上是外力經過機械的傳輸,間接對物體作功的過程。

3.在無摩擦力的狀況下,外界對機械輸入的功恰等於機械輸出給物體的能,代表機械效益為100﹪(或稱機械效益=1)。

4.例如:某人欲將質量為m公斤的物體等速度向上提高h公尺,他使下列甲、乙、丙三種方法(如圖四所示),則某人對物體作功的情形如下:

(1)試比較甲、乙、丙三種方法所施的作用力F1、 F2 、F3的大小順序為何?答: F1=F3>F2 。

(2)上述甲、乙、丙三種作功的路徑,對物體作功的大小順序為何?
答:外力作功=重力位能,因為上述三種路徑使物體上升的高度都是h公尺高,故最後物的重力位能皆為:
mgh,故作功的大小順序為:甲=乙=丙

(3)若上圖中物體的質量m10kg,而重力加速度=9.8m/s,物體垂直上升的高度為20公尺,則外力所作的功為多少?
答:作功=重力位能,而 (重力位能=
mgh
作功=10×9.8×20  外力對物體作功=1960
J

(4)承上題之敘述;在無摩擦力的狀況下外力對物體作功只與垂直的位移有關,而與物體所經的路徑無關。

(二)重力作功與能量守恆:

1.物體受地球重力吸引落下的過程,可視為重力對物體作功。

2.位置較高的物體擁有較大的重力位能,在物體由高處落下的過程中,重力位能減少而物體的動能增加

3.以「功」的定義來看;物體受到重力為F當物體向落下的高度為h(即位移=h),重力加速度為g,物體的質量為m,則重力作功與物體減少的重力位能相等,其關係式為:
重力作功F×S = m×g×h

4.重力對物體作功的同時,重力位能在減少,根據能量守恆定律的觀念,能量不會無故的消失,而這些在落下的過程中減少的位能;事實上是轉換成物體的動能。

5.在無摩擦的狀況下,物體減少的重力位能恰等於物體增加的動能。其關係式為:

(1)上述關係式經整理後,可簡化為:V經演算後可推論物體落下的高度h與落下後的瞬時速度關係式為:
 

(2)上述第6.點:瞬時速率V的關係式適用於任何重力對物體作功且轉換成物體的動能之情形,在無摩擦力的狀況下;此一關係式中瞬時速率V只與物落下的垂直高度h有閞,而與物體落下的路徑無關

6.以雲霄飛車為例(如圖五):

(1)當滑車位在最高點A時,滑車的重力位能=mgh,而動能=0。

(2)滑車的質量為m公斤,所受的重力F=mg牛頓,滑車落下的位移為h,故重力對滑車作功=mgh。

(3)當滑車落下至最低點B時,則重力位能=0,而此時滑車的動能最大,(如圖六所示):

(4)滑車的動能是重力位能轉換而來,故動能與在A點時的重力位能相等,兩者的關係式為:

(5)承上第(3)點,當滑車行至B點時,其

(6)由上述的關係式可得知;當物體由高處受重力而向下運動時;物體的瞬時速率V只與物體落下的垂直高度h有關與物體的質量m及落下的過程行經的路程無關

(7)若不計較任何摩擦阻力,則滑車在上升或下降的運動過程中遵守「力學能守恆」定律。

創用CC標示:
CC