單元肆：功與能的定義
一、功的定義：
(一)功（Work）、能量的互換：
1.定義：假設施力「Ｆ」於物體上使物體產生位移「Ｓ」，則此力對物體所作的功「Ｗ」定義如表一所示：
(1)當施力方向與位移方向相同時，此力作『正功』。
(2)若施力方向與位移方向相反時，此力作『負功』。
2.而施力方向與位移方向垂直時，此力『作功＝０』。
3.功雖有正、負，但不具方向性。
4.當外力對物體作正功時，代表作功使物體的總能量增加；外力對物體作負功時，代表作功使物體的總能量減少，故正功與負功並不是代表功的方向。
(二)外力與位移的關係：
1.當外力F與位移S的方向不平行時，則必須求出外力F在位移方向的分力
，故外力F對物體作功的計算式為：
2.例如：在光滑水平面上置一物體，以與水平傾斜θ角度的外力F對物體作功（如圖一.所示），當物體移動一段離距離S時，則外力對物體作功為：
(1)如圖二所示：已知外力100牛頓與水平夾角為60°，且物體受力後在光滑平面上位移20公尺，試求外力F在水平方向的分力
＝?
答：夾角60°的直角三角形，其斜邊長是最短一股的兩倍，故
(2)承上題；當物體移動
答：作功W ＝ 50 × 20 ，∴外力對物體作功＝1000焦耳。
二、功與能的轉換：
(一)能量守恆與作功：
1.人體對物體施力使物體產生位移，這是必須消耗能量的，但以「能量守恆」的觀點來看，人體消耗的能量不會無故消失，而是以其他形式的能量相互轉換罷了，且能量的總和仍然是維持不變的。
2.功能定理：作功轉換為動能，若不考慮摩擦力造成的能量損失；則外力對物體【作功＝動能】。（如表二）所示：
3.功與位能：作功轉換為位能，則【功＝位能】。如：施力將物體提高，反抗重力對物體作功，則此外力所作的功會轉換為物體的【重力位能】。（如表三）所示：
4.唯擁有能量的系統（例如：人或動力機械）能夠對物體作功，因為只有「能」才具有作功的本領，故上述外力對物體作功＝F×S，事實上是人體或一具有能量的系統輸出能量給物體的過程，而物體獲得這些能量後會轉變成動能或位能的形式，這便是「功」的本質。
(二)功與動能的轉換：
1.當外力對物體作功時，是將能量輸入給物體，若物體是在光滑水平面上移動，則外力作功會轉換成物體的動能。
2.例：（如圖三）所示；以10kgw的水平力F作用於光滑平面上的物體，使物體由靜止開始運動，且已知物體的質量為5kg，試回答下問題：（重力加速度g＝
(1)當物體向右移動10公尺時，外力對物體作功等於多少？
答：F＝10×9.8，F＝98N，∴作功＝98×10
故外力作功＝980J。
(2)當物體向右的位移達到10公尺時，試問物體增加的動能為若干？
答：動能是由外力作功轉換而來，又無摩擦阻力，故：
作功＝動能，∴物體的動能＝980J。
3.上題中若忽略摩擦阻力時，則外力對物體作功＝動能，若考慮摩擦力的存在，則外力作功應修正為：
(三)功與位能的轉換：
1.由於「作功」是對受力物體輸入能量，因此物體的力學能必定會增加，若不是動能增加；就是位能增加，也有可能在某些情況會使物體的動能和位能都同時增加。
2.我們將問題簡單化，當外力對物體作功時，在動能不增加的情形下，討論位能增加的狀況。
3.在無摩擦力的狀況下，外力對物體作功且物體仍保持等速度運動時，則作功會轉換為物體的位能，亦即F×S ＝ 位能。
三、功與機械：
(一)機械與作功的關係：
1.若將機械本身視為一個系統，則外力是來自具有能量的另一個系統，當外力對物體作功時，其意義為：具有能量的系統將能量輸入至機械。
2.當機械獲得外界輸入的能量後，會再經由機械轉換至物體使物體獲得能量，故使用簡單的機械；事實上是外力經過機械的傳輸，間接對物體作功的過程。
3.在無摩擦力的狀況下，外界對機械輸入的功恰等於機械輸出給物體的能，代表機械效益為100﹪（或稱機械效益＝1）。
4.例如：某人欲將質量為m公斤的物體等速度向上提高h公尺，他使下列甲、乙、丙三種方法（如圖四所示），則某人對物體作功的情形如下：
(1)試比較甲、乙、丙三種方法所施的作用力F1、 F2 、F3的大小順序為何？答： F1＝F3＞F2 。
(2)上述甲、乙、丙三種作功的路徑，對物體作功的大小順序為何？
答：外力作功＝重力位能，因為上述三種路徑使物體上升的高度都是h公尺高，故最後物的重力位能皆為：mgh，故作功的大小順序為：甲＝乙＝丙。
(3)若上圖中物體的質量m＝10kg，而重力加速度＝
答：作功＝重力位能，而 （重力位能＝mgh）
作功＝10×9.8×20 ∴外力對物體作功＝1960J。
(4)承上題之敘述；在無摩擦力的狀況下，外力對物體作功只與垂直的位移有關，而與物體所經的路徑無關。
(二)重力作功與能量守恆：
1.物體受地球重力吸引落下的過程，可視為重力對物體作功。
2.位置較高的物體擁有較大的重力位能，在物體由高處落下的過程中，重力位能減少而物體的動能增加。
3.以「功」的定義來看；物體受到重力為F，當物體向落下的高度為h（即位移＝h），重力加速度為g，物體的質量為m，則重力作功與物體減少的重力位能相等，其關係式為：
重力作功F×S ＝ m×g×h
4.重力對物體作功的同時，重力位能在減少，根據能量守恆定律的觀念，能量不會無故的消失，而這些在落下的過程中減少的位能；事實上是轉換成物體的動能。
5.在無摩擦的狀況下，物體減少的重力位能恰等於物體增加的動能。其關係式為：
(1)上述關係式經整理後，可簡化為：
，V經演算後可推論物體落下的高度h與落下後的瞬時速度關係式為：
(2)上述第6.點：瞬時速率V的關係式適用於任何重力對物體作功且轉換成物體的動能之情形，在無摩擦力的狀況下；此一關係式中瞬時速率V只與物落下的垂直高度h有閞，而與物體落下的路徑無關。
6.以雲霄飛車為例（如圖五）：
(1)當滑車位在最高點A時，滑車的重力位能＝mgh，而動能＝0。
(2)滑車的質量為m公斤，所受的重力F＝mg牛頓，滑車落下的位移為h，故重力對滑車作功＝mgh。
(3)當滑車落下至最低點B時，則重力位能＝0，而此時滑車的動能最大，（如圖六所示）：
(4)滑車的動能是重力位能轉換而來，故動能與在A點時的重力位能相等，兩者的關係式為：
(5)承上第(3)點，當滑車行至B點時，其
(6)由上述的關係式可得知；當物體由高處受重力而向下運動時；物體的瞬時速率V只與物體落下的垂直高度h有關，與物體的質量m及落下的過程行經的路程無關。
(7)若不計較任何摩擦阻力，則滑車在上升或下降的運動過程中遵守「力學能守恆」定律。